Streuung der Ionen an ,,Target``-Atomen

 

Die Trajektorie eines Ions ergibt sich als Folge von nuklearen Stößen mit den Siliziumatomen, die für Implantationsenergien über 1keV in guter Näherung als Zweikörperwechselwirkung angesehen werden können. Dieses Standardproblem der klassischen Mechanik [Gol83] läßt sich wie folgt beschreiben (siehe Abbildung 2.9):

  
Abbildung 2.9: Das Laborsystem zeichnet sich dadurch aus, daß das Target-Atom mit der Masse als ruhend, das Ion () hingegen als sich mit der Geschwindigkeit bewegend angenommen wird. Der Stossparameter p gibt den Normalabstand zwischen der Einfallsrichtung des Ions und dem Atom an.

• Gegeben ist ein anfangs ruhendes Teilchen (das ,,Target``-Atom) mit der Ordnungszahl und der Massenzahl , sowie ein mit der Energie E einfallendes Teilchen (das Ion) mit der Ordnungszahl und der Massenzahl .
• Der Abstand der Massenmittelpunkte der beiden Teilchen normal zur Einfallsrichtung wird Stoßparameter p genannt.
• Zwischen den geladenen Teilchen existiert ein elektrisches Kraftfeld, daß durch ein interatomare Potential V(r) beschrieben werden kann. r ist dabei der Momentanabstand des Ions vom Atom. Es wird angenommen, daß die dadurch enstehende Kraft nur entlang einer gedachten Verbindungslinie zwischen den Stoßpartnern wirkt.

Gesucht sind nun folgende Größen aus Abbildung 2.9:

• ...Winkel, den die Richtungsvektoren vor und nach dem Stoß einschließen (also der Streuwinkel).
• ...Winkel, den der Richtungsvektor des durch den Stoßvorgang beschleunigten Atoms mit dem Richtungsvektor des einfallenden Ions einschließt.
• ...Höhe des Energieübertrages vom Ion auf das Atom. Überschreitet dieser einen gewissen Betrag (,,Displacement energy``) in der Größenordnung von 25eV, so werden die kovalenten Bindungen des ,,Target``-Atoms gelöst und es wird aus dem Gitterverband herausgeschlagen (Gitterdefekt oder ,,Recoil``). Durch diesen Effekt werden kristalline Siliziumstrukturen zunehmend zerstört (siehe Kapitel 2.8) und können sogar in weiten Raumbereichen vollständig amorphisiert werden (siehe Kapitel 2.8.2).

  
Abbildung 2.10: Nach der Transformation in das Massenmittelpunktsystem bewegt sich das Koordinatensystem mit dem Massenmittelpunkt mit, sodass der Gesamtimpuls null wird.

Zur Lösung des Zweikörperproblems erweist es sich als günstig, eine Transformation in das Massenmittelpunktsystem von Ion und ,,Target``-Atom vorzunehmen. Damit reduziert man die Anzahl der zu lösenden Gleichungen auf eins, denn nun genügt es, die Relativbewegung zwischen den beiden Stoßpartnern zu betrachten (siehe Abbildung 2.10). Diese ist formal identisch mit der Bewegungsgleichung eines Teilchens mit der reduzierten Masse

und der Energie

im ortsfesten Potential V(r), wobei E die Ionenenergie im Laborsystem bezeichnet. V(r) wird auch Zentralpotential genannt, da es seinen Ursprung im Zentrum des Massenmittelpunktsystems hat.

In diesem System kann nun der Streuwinkel (siehe Abbildung 2.10) mittels

 
berechnet werden. ist der minimale Abstand der beiden Stoßpartner und ergibt sich als positive Nullstelle des Wurzelausdruckes von Gleichung 2.7. Das Integral kann nur für spezielle Potentiale V(r) (z.B. Coulombpotential) analytisch berechnet werden.

Nach der Rücktransformation in das Laborsystem erhält man die Streuwinkel und aus

 
bzw.

 
Der Energieverlust des Ions bzw. die Energie des ,,Recoils`` erhält man aus

 
Aus den Gleichungen 2.8 und 2.10 können einige interessante Erkenntnisse gewonnen werden:

• Für den zentralen Stoß (p = 0) ergibt sich ein von 180. Falls das Ion leichter als das ,,Target``-Atom ist (), wird es rückgestreut ( 180), ansonsten behält es seine Richtung bei ( 0), und das ,,Recoil`` wird in der Einfallsrichtung des Ions beschleunigt ( 0). Bei diesem Vorgang ist der Energieübertrag maximal. Er verringert sich mit zunehmendem Massenunterschied. Leichte Ionen (z.B. Bor) können daher ohne großen Energieverlust ihre Flugrichtung sehr stark ändern, wohingegen massenreiche Teilchen (z.B. Arsen) bei mäßiger Abbremsung nur kleine Ablenkungen erleiden.
• Für kleine Streuwinkel () werden die ,,Recoils`` fast in Richtung normal zur Ionenbahn beschleunigt ().
• Aus Gleichung 2.8 läßt sich auch ein maximaler Streuwinkel ableiten, der bei schweren Ionen () kleiner als 90 ist

  
  
  Für Arsen () ergibt sich z.B. ein von 22, d.h., daß sehr viele Kollisionen nötig sind, um die Bewegungsrichtung umzukehren, doch dieser Fall ist relativ unwahrscheinlich.

Um nun den Streuwinkel tatsächlich berechnen zu können, braucht man noch einen Ausdruck für das interatomare Potential V(r), der im folgenden Abschnitt abgeleitet werden soll.