Berechnung von Mittelwerten



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Berechnung von Mittelwerten

Der Zeitmittelwert einer physikalischen Observablen wie der mittleren Teilchenenergie oder der mittleren Geschwindigkeit einer Monte-Carlo-Simulation [35] [36][46] ist gegeben als

Dabei wird die Trajektorie eines Teilchens bis zum Zeitpunkt nachgebildet. In der Summendarstellung wird die Unterteilung der einzelnen freien Flugzeiten berücksichtigt. Da aber zu jedem freien Flug ein Integral ausgewertet werden muß, ist diese Art der Mittelwertbildung nicht empfehlenswert. Unter der Berücksichtigung, daß die stationäre Verteilungsfunktion proportional der Zahl der Ladungsträger ist, die sich zur Zeit in einer Umgebung um befinden, kann die obige Formel einer Mittelwertberechnung als Summe des Produkts einer impulsabhängigen Verteilungsfunktion und der jeweiligen physikalischen Observablen [46][47]

 

umgewandelt werden, wenn eine Normierungskonstante darstellt. Bezieht man jetzt die Tatsache ein, daß die Elektronen ihre Zustände deterministisch ändern, so kann man die Elektronenverteilung mit

beschreiben [36][46], worin die Verteilungsfunktion des Teilchens unmittelbar vor der Streuung repräsentiert und proportional zu der Wahrscheinlichkeit ist, daß das Partikel in der Umgebung von anzutreffen sein wird. Dabei ist eine geeignete, noch zu untersuchende Normierungskonstante, die mit der Streuwahrscheinlichkeit in Verbindung gebracht werden kann [36][46]. Die Berechnung der Mittelwerte beschränkt sich also auf die Summation der physikalischen Größen vor dem Stoß. Einsetzen der obigen Gleichung in die Beziehung 2.58 ergibt nun für den Mittelwert [46]

 

Im Fall, daß die gesamte Streurate konstant ist,

gehorcht der Mittelwert der folgenden Relation,

Da sich die Mittelwertbildung in der bisherigen Ableitung nur auf die Impulskoordinaten erstreckt, kann eine Erweiterung auf ortsabhängige Mittelwerte eingeführt werden, indem man annimmt, daß das Simulationsgebiet in eine Menge von Diskretisierungsvolumina unterteilt ist. Innerhalb eines Volumen wird dann räumlich gemittelt, wenn die Gleichung 2.60 in der erweiterten Form

verwendet wird [23]. Will man den Mittelwert des gesamten Systems wissen, dann muß zusätzlich noch eine Mittelung im Ortsraum erfolgen.



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Martin Stiftinger
Mon Aug 7 18:44:55 MET DST 1995