5. Numerische Induktivitätsberechnung basierend auf Integrationsformeln für Tetraeder

In diesem Kapitel wird eine Berechnungsmethode vorgestellt, die durch Auswertung der Neumann-Gleichung (3.50) mit Integrationsformeln die magnetische Energie ermittelt. Abhängig von dem Term $\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textst... ...ox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}'\vert$, werden verschiedene Integrationsschemata angewendet, um die Summe aller Beiträge der Leiterelemente zu erhalten.

Der Einfluss des Skineffektes wird vernachlässigt, deshalb sind die Ergebnisse gültig solange die Eindringtiefe $\delta$ groß ist gegenüber den Durchmessern der Verbindungsleitungsstrukturen. Die Eindringtiefe, die abhängig ist von der elektrischen Leitfähigkeit $\gamma$, der magnetischen Permeabilität $\mu$ und der Kreisfrequenz $\omega$, berechnet sich mit folgender Gleichung:

$$\delta=\sqrt{\frac{2}{\gamma\mu\omega}}\;.$$ (5.1)

Die Eindringtiefe für Aluminium und Kupfer ist in Abb. 5.1 dargestellt. Als Zahlenbeispiel sei angeführt: Die Eindringtiefe beträgt 2.1 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m für Cu und 2.6 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m für Al bei einer Frequenz von 1 GHz. Die Höhe der Leitungen in den unteren Verdrahtungsebenen liegt im Bereich von 350 nm. Globale Leitungen weisen eine Höhe von 670 nm für eine 130 nm Technologie auf.

Abbildung 5.1: Eindringtiefe für Al und Cu Leiter

Die Verallgemeinerung von (1.4) dient zur Berechnung der Induktivität:

$$L_{p_{ik}}=\frac{1}{I_iI_k}\frac{\mu}{4\pi}\int_{{\cal{V}}_i}\int... ... {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert} \,\mathrm{d}V'\,\mathrm{d}V\,,$$ (5.2)

wobei $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle r... ... {\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}'$ die Ortsvektoren und ${\cal{V}}_i$ bzw. ${\cal{V}}_k'$ die Leitervolumina bezeichnen, und $I_i, I_k$ die Ströme durch diese Leiter sind. Diese Gleichung wird unterschiedlich ausgewertet, je nachdem, ob Selbstinduktivitäten ($i=k$) oder Gegeninduktivitäten ($i\neq k$) berechnet werden. Gleichung (5.2) kann für gewisse Spezialfälle geschlossen gelöst werden. Setzt man beispielsweise eine konstante Stromverteilung in einem Rechteckleiter voraus, so kann eine geschlossene Lösung angegeben werden [103]. Die Induktivität hängt in diesem Fall nur mehr von der Leitergeometrie ab. Da sich trotz dieser Vereinfachung die Lösung des doppelten Volumsintegrals nur für elementare Geometrien in geschlossener Form angeben läßt, ist es für allgemeine Strukturen nötig (5.2) numerisch auszuwerten.