Zunächst wird das kontinuierliche Problem betrachtet.
Die transienten Halbleitergleichungen in ihrer differentiellen
Form sind lokale Erhaltungsgesetze für die Elektronen-,
Löcher- und die Verschiebungsstromdichte.
Durch Volumenintegration
über das gesamte Bauelement werden aus den lokalen
Erhaltungsgesetzen globale. Sei nun 
das gesamte
Definitionsgebiet und 
, 
=
,
die Oberflächen der 
ohmschen Kontakte,
etwaige Gate-Kontakte eingeschlossen.
bezeichnet Ränder des Integrationsgebietes,
an denen Neumann-Randbedingungen gelten.
Man definiert nun
für jede der Stromdichten
(also getrennt für 
, 
und 
)
Funktionen 
, =, mit der Eigenschaft
Im folgenden wird die Gewichtsfunktion des
i-ten Kontakts der Elektronen mit 
,
der Löcher mit 
und des Verschiebungsstromes
mit 
notiert.
Zur Berechnung der Einzelkomponenten
des i-ten Kontaktstromes geht man folgendermaßen vor:
Die Kontinuitätsgleichungen für Elektronen
und Löcher und die zeitdifferenzierte Poissongleichung
(die lokalen Erhaltungsgesetze) werden
mit der entsprechenden Gewichtsfunktion
(, , ) multipliziert,
und das Produkt wird über das Halbleitervolumen integriert.
Für die zeitdifferenzierte Poissongleichung ist auch
über Oxidgebiete zu integrieren.
Um die Notation zu vereinfachen,
wird aus diesem Grund für jede Teilstromgleichung
ein eigenes Integrationsgebiet
(
, 
, 
)
definiert. Nach einem partiellen Integrationsschritt
folgt bei Berücksichtigung der homogenen
Randbedingungen (2.6)
für die Teilströme am Kontakt :
Die Teilströme bestehen aus einem Anteil, der mit den Gradienten
der Gewichtsfunktionen gewichtet wird (,,vektorieller`` Anteil),
und einem Anteil, der mit den Gewichtsfunktionen skalar gewichtet
wird (,,skalarer`` Anteil). Der vektorielle Anteil
stammt vom elliptischen Differentialoperator, der skalare
Anteil von der rechten Seite der Erhaltungsgesetze, also von den
Zeitableitungen der Ladungsträgerkonzentrationen und
den Generations- und Rekombinationsraten.
Die Teilströme werden entsprechend dem Verlauf der einzelnen
Gewichtsfunktion und ihrer Gradienten aus diesen
beiden Komponenten linear kombiniert.
Entartet eine Gewichtsfunktion zu einer
Dirac-schen Deltafunktion am Kontakt,
so resultiert daraus ein Oberflächenintegral,
und der entsprechende skalare Anteil in (2.8)-(2.10)
verschwindet.
Sind die Gewichtsfunktionen identisch und
die Integrationsgebiete kongruent, also
dann vereinfacht sich die Berechnung des Kontaktstromes 
zu
Für den Gesamtstrom ist unter obigen
Voraussetzungen dann nur eine Gewichtsfunktion
für jeden Kontakt erforderlich.
Aufgrund von (2.7) gilt für das kontinuierliche Problem
d.h. die Summe aller Kontaktströme verschwindet in jedem Zeitpunkt, da in jedem Punkt der Vereinigungsmenge der Integrationsgebiete gilt
d.h. die Gesamtstromdichte ist zu jedem Zeitpunkt
divergenzfrei (Erhaltungsgesetz der elektrischen Ladung).
Für eine beliebige Gewichtsfunktion 
, die die
Forderungen (2.5)-(2.7) erfüllt,
gilt aufgrund ihrer linearen Abhängigkeit
Die Forderung (2.7) kann exakt erfüllt werden,
wenn die j-te Gewichtsfunktion mit Hilfe der
Formel (2.15) berechnet wird,
was zugleich eine Rechenzeitersparnis bringt.
Wendet man den Gradientenoperator auf (2.7) an,
so erhält man die Gleichung
d.h. die Gradienten der Gewichtsfunktionen sind linear abhängig.
Summiert man dementsprechend die vektoriellen Anteile in
(2.8)-(2.10)
über die Kontakte, so ergibt sich
was bedeutet, daß auch die vektoriellen Anteile linear
abhängig sind. Ein vektorieller Anteil kann deswegen aus der
Summe der verbleibenden vektoriellen Anteile gewonnen werden.
In der diskreten Form gehen die
Integrale (2.8)-(2.10) in endliche Summen über.
Die Forderungen (2.5)-(2.7)
an die einzelnen Gewichtsfunktionen pro Teilstromdichte
legen nur die Randbedingungen,
nicht jedoch den Verlauf der Gewichtsfunktionen in den
Lösungsgebieten fest. Im Kontinuierlichen
müssen sie lediglich partielle erste Ableitungen besitzen.
Die Wahl des Verlaufs der Gewichtsfunktionen
im Inneren des Rechengebietes ist ansonsten frei.
