5.2 Ausgewählte iterative Prozeduren

,,In 3D sparse direct solution methods can safely be labeled a disaster.``
Randolph E. Bank et al.[9]

In diesem Abschnitt werden einige iterative Algorithmen zur Lösung linearer Gleichungssysteme beschrieben. Alle diese Prozeduren sind mit dem klassischen CG-Algorithmus [46] verwandt. Nach dem sogenannten ,,Texas-Viewpoint`` [39][40] können diese Prozeduren auch als adaptive Beschleunigungsalgorithmen einer stationären Iteration (wie z.B. des Jacobi-, Gauß-Seidel- oder SSOR-Verfahrens) verstanden werden. Die dazu duale, etwas etabliertere Sichtweise ist, diese Algorithmen als zentrales Iterations-Verfahren, und die stationäre Iteration als Vorkonditionierung zu betrachten.
Fünf Algorithmen wurden in dieser Arbeit untersucht:

: Das klassische CG-Verfahren [46], angewendet auf die symmetrisierten Kontinuitätsgleichungen und auf die Poissongleichung.
: Eine Modifikation des klassischen CG-Verfahrens, das SCG-Verfahren [39][40], angewendet auf die symmetrisierbaren Kontinuitätsgleichungen.
: Das GMRES-Verfahren von Saad und Schultz [90] zur Lösung der allgemeinen, nicht symmetrisierbaren Kontinuitätsgleichungen.
: Das CGS-Verfahren von Sonneveld[103].
: Das BiCGSTAB-Verfahren von van der Vorst [119].

Daneben wurde in [106] auch eine Version des BiCG-Algorithmus [27] in einer Implementation, die zum CJCG-Verfahren [39][40][88] analog ist, untersucht. Die Richtungsabhängigkeit aber hauptsächlich die mangelnde Robustheit der Jacobi-Vorkonditionierung haben dieser Methode keinen dauerhaften Erfolg beschieden.
Die iterativen Prozeduren wurden mit einer Vorkonditionierung durch unvollständige LU-Faktorisierung der Koeffizientenmatrix verwendet. Das vorkonditionierte System wird zusätzlich noch durch den Diagonaloperator der unvollständigen Faktorisierung

skaliert. Bei der Verwendung der Methode von Eisenstat [21] zur Berechnung des Vorkonditionierungsschrittes wird diese Skalierung symmetrisch, ansonsten linksseitig vorgenommen.
Die folgenden Notationskonventionen werden häufig benutzt: Ein tiefgestelltes s notiert skalierte Matrizen, z.B.

oder

. Mit eckigen Klammern

wird das innere Produkt gekennzeichnet. Vektoren oder Matrizen mit einem symbolischen Dach

kennzeichnen das vorkonditionierte Gleichungssystem.

ist immer der Iterationszähler.

Martin Stiftinger
Fri Oct 14 21:33:54 MET 1994