1.2 Lösung des Systems nichtlinearer Gleichungen

,,Solution of nonlinear equations takes insight, ingenuity and courage, and less of gratuitous remarks from chance acquaintances.``
Paul Saylor [priv.com.]

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Die in der Nähe des thermodynamischen Gleichgewichts linearisierten transienten Halbleitergleichungen sind ein nichtschwingungsfähiges dynamisches System. Die Eigenbewegungen sind immer gegen den Gleichgewichtszustand monoton abklingend.

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Unter sehr vereinfachenden Annahmen kann gezeigt werden, daß die Zeitkonstante, mit denen das aus dem Gleichgewicht gebrachte System relaxiert, zum einen aus der dielektrischen Relaxationszeit besteht

Dabei sind und räumlich konstant vorausgesetzte Ladungsträgerkonzentrationen und ist die ebenfalls räumlich konstante Beweglichkeit der Ladungsträger. Weiters existieren Diffusionsmoden, mit denen die Nettoraumladung zum Gleichgewichtswert abklingt. Beide Zeitkonstanten haben sehr unterschiedliche Größe. Die dielektrische Relaxationszeit ist jene, mit der die Ladungsträger auf eine Verletzung der Ladungsneutralität reagieren. Für das p-Substrat eines MOSFETs ergibt sich z.B. mit , ein von . Die Diffusionszeitkonstante ist beispielsweise jene, mit der in das Substrat injizierte Elektronen aufgrund eines Konzentrationsgradienten ambipolar diffundieren. Diese Zeitkonstante ist mehrere Ordnungen größer als . Aufgrund der Anwesenheit mehrerer äußerst unterschiedlicher Zeitskalen ist das Anfangswertproblem steif. Diese Eigenschaft und die daraus resultierenden numerischen Erfordernisse wurden vorher schon von DeMari entdeckt [15].

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Die numerische Steifigkeit erfordert eine implizite Zeitdiskretisierung, welche die simultane Lösung des gekoppelten nichtlinearen Gleichungssystems bedingt. Zur Umgehung dieser Anforderung kann statt der Poissongleichung die zeitdifferenzierte Poissongleichung hergenommen und das System sukzessiv durch ein Block-Gauß-Seidel-Verfahren gelöst werden. In der Nähe des thermodynamischen Gleichgewichts kann die Stabilität dieses Algorithmus (im linearisierten Fall) gezeigt werden. Dieses Verfahren hat dieselbe günstige arithmetische Komplexität wie der bekannte Gummel-Algorithmus.

• 1.2.1 Der Algorithmus von Mock
• 1.2.2 Hybrider Mock-Gummel-Algorithmus
• 1.2.3 Integration in den Simulator MINIMOS