4.1.1 Dielektrische Abschirmung

 

Abbildung 4.1: Die exakte Abschirmfunktion $G(\xi,\eta)$ im nicht-entarteten (MB) und entarteten Fall für $E_{F}\!=\!5k_{\mathrm B}T$. Die rationale Approximation ist im ersten Fall (rosa) sehr genau für alle $\xi$. Im entarteten Fall (grün) ist die Übereinstimmung für $\xi$ kleiner eins und für $\xi$ größer drei sehr gut. Man kann zeigen, daß das mittlere $\xi$ für den Großteil aller Coulomb-Streuprozesse kleiner, ja sehr oft viel kleiner als eins ist (Anhang F). Das bedeutet, daß eine Ungenauigkeit für $\xi \gt 1$ praktisch keine Auswirkung auf die Beweglichkeit hat.

Die Abschirmfunktion $G(\xi,\eta)$ (4.1) beschreibt das dynamische Verhalten der Leitungselektronen bei der Streuung eines Elektrons an einer ionisierten Störstelle. Aufgrund der abstoßenden Ladungen zwischen herannahendem Elektron und dem restlichen Elektronengas kommt es zu einer Polarisation, die die Abschirmung der Störstelle impulsabhängig macht. Bei nieriger Dotierung überwiegt die Kleinwinkelstreuung, sodaß $\xi \approx 0$ wird und $G(0,\eta)$ gegen Eins strebt. Das oft zitierte BH-Modell geht von dieser Annahme aus. Mit zunehmender Dotierung nehmen die Streuwinkel zu, sodaß die q-Abhängigkeit von G nicht vernachlässigbar ist. Wir wollen G durch eine rationale Funktion der Form

$$\widetilde{G}(\xi,\eta)=\frac{1+a\xi^2+b\xi^4}{1+c\xi^2+d\xi^4+e\xi^6}$$ (4.1)

annähern. Der Grad vom Nennerpolynom muß um 2 höher als der des Zählerpolynoms sein, um das korrekte Verhalten im Unendlichen wiederzugeben. Die Taylorreihen von G, entwickelt um Null und im Unendlichen, ergeben

$$G(\xi,\eta) = \left\{\begin{array}{ll} 1+f_1\xi^2+f_2\xi^2+f_... ...-6}+{\cal O}(\xi^{-8}) & \xi\to \infty \; . \end{array}\right.$$ (4.2)

Dabei lauten die Koeffizienten

$$f_1=-\frac{2{\cal F}_{-3/2}}{3{\cal F}_{-1/2}}, \ f_2= \frac{... ...}_{-1/2}}, \ f_3=-\frac{8{\cal F}_{-7/2}}{105{\cal F}_{-1/2}},$$ (4.3)

$$g_1= \frac{{\cal F}_{1/2}}{2{\cal F}_{-1/2}}, \ g_2= \frac{{\... ...l F}_{-1/2}}, \ g_3= \frac{3{\cal F}_{5/2}}{8{\cal F}_{-1/2}}.$$ (4.4)

Durch Koeffizientenvergleich von G und $\widetilde{G}$ erhalten wir ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten (a,b,c,d,e). Da wir unendliche Reihen vergleichen, bleibt noch zu entscheiden, bis zu welcher Ordnung diese miteinander übereinstimmen sollen. Es wird ein Koeffizientenvergleich der Taylorreihen von G und $\widetilde{G}$ vorgenommem. Die Gleichheit der Koeffizienten von $\xi^n$ ergibt die Gleichung E_n. Damit die Reihen in den Potenzen $\xi^2$ und $\xi^{-2}$ übereinstimmen, erhalten wir die Gleichungen a=c+f₁ und b=g₁ e. Damit reduzieren wir den Rang des Gleichungssystems auf drei und erhalten

$$\begin{array}{l*{8}r} E_4 = & f_1 c &+& d &-& g_1 e &+& f_2 &... ... \\ E_{-6} = & g_1 c &+& g_2 d &+& g_3 e &-& 1 &=0 \end{array}$$ (4.5)

E₄ und E_-4 können gleichzeitig gelöst werden, wodurch sich eine exakte Übereinstimmung in den Potenzen $\xi^4$ and $\xi^{-4}$ ergibt. Da die Gleichungen E₆ und E_-6 nicht gleichzeitig gelöst werden können, wurde eine Linearkombination

uE₆ + E_-6=0 (4.6)

gewählt. Es kann gezeigt werden, daß der optimale Wert des Parameters u als Funktion der reduzierten Fermi-Energie gleich $u_{\mathrm{opt}} = 7.2\cdot (1+10^{\eta/5})$ ist [KKG97].

 

Abbildung 4.2: Einfluß der dispersiven Abschirmung (DS) auf die Elektronenbeweglichkeit als Funktion der Dotierung bei 300 K. Im Vergleich dazu das oft verwendete BH Modell, in dem $G(\xi,\eta)\approx G(0,\eta)$ gesetzt wird. Die experimentellen Daten sind [MSS83] entnommen.

Aus Abbildung 4.2 erkennt man einerseits, daß die q-Abhängigkeit der dielektrischen Abschirmung ab 10¹⁸ cm^-3 wichtig wird, während sie andererseits jenseits 10²¹ cm^-3 wieder verschwindet. Der Grund dafür ist, daß bei hoher Entartung $G(\xi,\eta)$ praktisch von $\xi$ unabhängig wird. Das ist auch der Grund, warum die dispersive Abschirmung bei Verbindungshalbleitern, wie GaA und InP eine untergeordnete Rolle spielt [CF88].