4.1.3 Born-Korrektur zweiter Ordnung

 

Das BH Modell verwendet die Born-Näherung erster Ordnung, sodaß man zwischen Minoritäten und Majoritäten nicht unterscheiden kann. Andererseits gibt die Born-Näherung erster Ordnung für verschwindende Abschirmung den exakten Wirkungsquerschnitt [Joa75]. Will man höhere Ordnungen berücksichtigen, muß man erkennen, daß schon die Streuamplitude zweiter Ordnung (1.46) für $\beta\rightarrow 0$ divergiert. Wir können diese Divergenz jedoch umgehen, indem wir die Streuamplitude nach Schwinger (1.48) benutzen, um eine Korrektur $\Delta \sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B2}} (q)$ zu $\sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B1}}(q)$ zu berechnen [Sch47]. Aus Konsistenzgründen vernachlässigen wir die dispersive Abschirmung und die Paarstreuung und benutzen (1.46). Durch geeignete Substitution konnten wir in Abschnitt (1.3.3) eine Reihenentwicklung (1.55) für die Streuamplitude nach Schwinger erhalten, die für jede Dotierung innerhalb des Konvergenzradius bleibt. Für $\Delta \sigma_{\mathrm m} (q)$ erhalten wir damit

$$\Delta \sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B2}} (q) =a_{1}(k)\, \sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B1}}$$ (4.7)

wobei a₁ durch (1.56) definiert ist. Man erkennt aus (1.56), daß wir sogar in nullter Ordnung der zweiten Born-Amplitude eine Korrektur erhalten, die Minoritäten von Majoritäten über U₀ unterscheidet. Da a₁ von q unabhängig ist, ändert sich die Winkelverteilung nicht, sodaß wir dieselbe Begrenzungsfunktion für (4.7) benutzen können wie für $\sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B1}}$. Mit Hilfe der Verwerfungsmethode (siehe Abschnitt (3.5)) läßt sich dann der Streuprozeß auswählen. Wir können nun die Divergenz der zweiten Born-Näherung unterbinden, indem wir fordern, daß s₀ nicht negativ werden darf. Ein negatives s₀ würde $\sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B1}}$ reduzieren und sogar exakt kompensieren, da s₀ für verschwindende Abschirmung gegen Eins strebt. Da aber $\sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B1}}$ für verschwindende Abschirmung den exakten Wirkungsquerschnitt darstellt, ist es physikalisch sinnvoll, negative Werte für s₀ auszuschließen. In Abbildung 4.4 ist der Einfluß der zweiten Born-Korrektur nullter Ordnung auf die Beweglichkeit von Majoritätselektronen zu sehen. Diese Korrektur kann als untere Schranke für den Wirkungsquerschnitt zweiter Ordnung angesehen werden, da alle Glieder höherer Ordnung positiv sind. Für die Beweglichkeit bedeutet das, daß Korrekturen der zweiten Born-Näherung eine obere Schranke für die Beweglichkeit bedeuten.