next up previous
Next: B.2 Schrödinger-Gleichung des idealen Kristalls Up: B Schrödinger-Gleichung Previous: B Schrödinger-Gleichung

B.1 Teilchen in skalarem Potentialfeld

Für den Fall eines Teilchens der Masse m in einem skalaren endlichen Potential $V(\vec{r})$ lautet (B.1)

 \begin{displaymath}H\,\psi (\vec{r})\equiv \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \,\triangle + V(\vec{r}) \right] \,\psi (\vec{r})=E\,\psi (\vec{r})\end{displaymath} (B.4)


Um eine physikalische Interpretation der Funktion $\psi$ zu ermöglichen, muß $\psi (\vec{r})$ und ihre Ableitungen erster Ordnung im ganzen Raum stetig, eindeutig und beschränkt sein.

Man kann dann folgende Aussagen beweisen [Mes90a]:

In einem zentralen Potentialfeld wirkt die Kraft nur radial, sodaß der dazugehörige Hamilton-Operator

\begin{displaymath}H=\frac{\vec{p}^2}{2m} +V(r)\end{displaymath} (B.6)


radialsymmetrisch wird. Verwendet man Kugelkoordinaten, so reduziert sich die Lösung der Schrödinger-Gleichung

\begin{displaymath}H\psi(\vec{r}) \equiv \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \triangle +V(r)\right]\psi (\vec{r}) =E\,\psi (\vec{r})\end{displaymath} (B.7)


durch den Ansatz $\psi (r,\theta,\phi) = Y_{l}^{m}(\theta,\phi) \,r^{-1}y_{l}(r)$auf die Lösung einer nur vom Abstand r des Teilchens zum Kraftzentrum abhängigen Differentialgleichung.

\begin{displaymath}\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{{\mathrm{} d}^2}{{\mathrm{} ... ... l+1 \right) \frac{\hbar^2}{2mr^2} +V(r)-E \right] y_{l}(r)=0 \end{displaymath} (B.8)


mit der Randbedingung

yl(0)=0 (B.9)


wobei l die Bahndrehimpulsquantenzahl bezeichnet. Diese Radialgleichung entspricht der Schrödinger-Gleichung eines eindimensionalen Teilchens der Masse m, das im Bereich $(0,\infty)$ dem Zentrifugalpotential

\begin{displaymath}V_{l}=\frac{\hbar^2}{2mr^2}l \left( l+1 \right)\end{displaymath} (B.10)


und im Bereich $(-\infty,0) $ einem unendlich großen, abstoßenden Potential unterworfen ist. Das dreidimensionale Problem wird also auf eine eindimensionale Schrödinger-Gleichung reduziert, welche stets numerisch integrierbar ist.


next up previous
Next: B.2 Schrödinger-Gleichung des idealen Kristalls Up: B Schrödinger-Gleichung Previous: B Schrödinger-Gleichung

Kaiblinger-Grujin Goran
1997-12-06