B.2 Schrödinger-Gleichung des idealen Kristalls

(B.1) bildet auch den Ausgangspunkt für die Zustandsbeschreibung des Elektronensystems in einem Halbleiter. Aufgrund der Komplexität dieses Vielteilchenproblems macht man in der Regel zwei Näherungen. Man separiert einerseits das Gesamtsystem in ein Elektronensystem und ein Ionensystem (adiabatische Näherung). Andererseits wird über die Hartree-Fock-Näherung ein mittleres Potential angenommen, welches mit einem Elektron wechselwirkt. In einem idealen Kristall ist die potentielle Energie durch das gitterperiodische Kristallpotential gegeben, sodaß die Lösungsfunktionen lauten

$$\Psi (\vec{k},\vec{r}) = u_{k}(\vec{r}) \,{\mathrm{} e}^{i \vec{k}\cdot \vec{r}} \; .$$ (B.11)

Aufgrund der Invarianz des Hamilton-Operators gegenüber primitiver Translationen $\vec{R}_l$ bei einem periodischen Potential sind die Blochfaktoren u_k gitterperiodisch, es gilt also

$$u_{k}(\vec{r}+ \vec{a}) = u_{k}(\vec{r}) \; ,$$ (B.12)

wobei der Index $\vec{k}$ als Kristallimpuls interpretiert werden kann, da seine zeitliche Entwicklung dem dritten Newtonschen Axiom genügt. Die Lösung von (B.1) liefert für jedes $\vec{k}$ ein diskretes Spektrum an Eigenwerten $E_{n}(\vec{k})$, die den n Leitungsbändern des Kristalls entsprechen.