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Schrödinger-Gleichung des idealen Kristalls
(C.1) |
mit nennt man Dalitz-Integrale [Dal51].
Durch die Substitutionen
(C.2) |
und unter Benutzung der Feynman-Identität [Joa75]
(C.3) |
läßt sich (C.1) schreiben
als
(C.4) |
mit
(C.5) |
Wir erhalten ein eindimensionales Integral in t und ein Raumintegral
der Form
(C.6) |
Setzt man s=1 und legt die z-Achse des Vektors
in Richtung von ,
so erhält man
(C.7) |
Nach kurzer Nebenrechnung erhält man unter Zuhilfenahme des Residuensatzes
(C.8) |
Durch sukzessives Differenzieren nach
ergibt sich [Joa75]
(C.9) |
Betrachten wir den Fall m=n=1 mit
, so erhält man für (C.1) unter
Verwendung von (C.5)
(C.10) |
Durch die rationale Transformation
(C.11) |
geht (C.10) über in
(C.12) |
Unter Verwendung des Satzes von Vieta kann man nun
durch seine Wurzeln z1 und z2 darstellen,
(C.13) |
Durch Übergang auf die Variable
(C.14) |
läßt sich (C.12) überführen
in
(C.15) |
mit
(C.16) |
Da die Koeffizienten des Integranden in (C.15)
nicht positiv definit sind, müssen wir noch folgende Transformation
durchführen:
(C.17) |
(C.15) wird damit zu
(C.18) |
mit
(C.19) |
Das Integral (C.18) ist elementar und
hat die Lösung
(C.20) |
mit D2= b22-4a2c2.