1.2 Streuphasenanalyse

 Diese schon 1881 von Lord Rayleigh eingeführte Methode benutzt die Eigenschaft, daß sowohl die Streuamplitude $f(\theta)$ als auch eine ebene Welle ${\mathrm e}^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}$ eine Funktion des Streuwinkels $\theta$ sind, sodaß man sie in Legendre-Polynome folgendermaßen entwickeln kann [AS72]:

$$f(k,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty} a_{l} \frac{1}{2 k} i (2l+1) \,P_{l}(\cos \theta)$$ (1.5)

$${\mathrm e}^{i k r\cos\theta}=\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) i^{l} j_{l}(kr) \,P_{l}(\cos\theta)$$ (1.6)

wobei die Koeffizienten a_l im allgemeinen komplex sind. Für große r kann man die sphärischen Bessel-Funktionen erster Art j_l(kr) schreiben als [AS72]

$$j_{l}(kr)_{\longrightarrow \atop r \rightarrow\infty } \frac{\sin\left( kr-\frac{1}{2} l\pi \right)}{kr} \; .$$ (1.7)

Einsetzen von (1.5), (1.6) und (1.7) in (1.2) ergibt für $\Psi$[WO75]

$${\Psi (r,\theta) }_{\longrightarrow \atop r \rightarrow\infty... ...t)}^{l} {\mathrm e}^{-i k r} \right] \, P_{l}(\cos \theta)\; .$$ (1.8)

Da V(r) sphärisch symmetrisch ist, kann $\Psi$ in (1.1) durch einen Produktansatz weiter vereinfacht werden zu

$$\Psi (r,\theta) =\sum_{l=0}^{\infty} \frac{(2l+1)}{k} i^{l} \frac{1}{r} u_{l}(r) P_{l}(\cos \theta)\; .$$ (1.9)

Nach Separation der Winkelabhängigkeit erhalten wir als Radialgleichung für u_l(r)

$$\frac{d^{2}u_l }{dr^2}+\left[ k^2 -U(r) -\frac{l(l+1)}{r^2} \right] \,u_{l} (r)=0$$ (1.10)

(1.10) stellt die Bessel-Gleichung dar, deren Lösung eine Linearkombination der Bessel-Funktionen erster und zweiter Art darstellen. Um unserem Streuproblem zu genügen, muß u_l(r) im Ursprung verschwinden und für große r folgendes Verhalten zeigen:

$$u_{l}(r)_{\longrightarrow \atop r \rightarrow\infty } kr\lef... ...right]=C_{l}\, \sin\left( kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_{l} \right)$$ (1.11)

mit

$$\tan \delta_{l}=\frac{B_l}{A_l}\; , \qquad\quad C_{l}^{2}=A_{l}^{2}+ B_{l}^{2}\; ,$$ (1.12)

sodaß wir für die Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich

$$\begin{eqnarray}a_{l}=1-{\mathrm e}^{2 i \delta_l}\; , \quad\qquad C_{l}={\mathrm e}^{i \delta_l} \end{eqnarray}$$ (1.13)

erhalten. n_l bezeichnet die sphärischen Bessel-Funktion zweiter Art [AS72]. Damit lautet die Streuamplitude

$$f(k,\theta)= \frac{1}{2 i k}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \left[ {\mathrm e}^{2 i \delta_l}-1 \right]\,P_{l}(\cos \theta)$$ (1.14)

und der differentielle Streuquerschnitt

$$\sigma (k,\theta)=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \sin^{2}\delta_{l}$$ (1.15)

mit

$$\sin\delta_{l}=-\int_{0}^{\infty} kr j_{l} (kr) U(r) \, u_{l}(r) {\mathrm d} r \; .$$ (1.16)

Alle bis jetzt hergeleiteten Relationen sind exakt. Die Phasenverschiebung $\delta_l$ beschreibt die Phasendifferenz zwischen der asymptotischen Lösung $\Psi (r,\theta)$ der am Potential V(r) gestreuten Welle und der einer ungestörten Kugelwelle.

Man erkennt sofort, daß für ein anziehendes Potential die gestörte Welle der ungestörten nachläuft, während hingegen für ein abstoßendes Potential die gestörte Welle der ungestörten vorläuft. Im ersten Fall gilt $\delta_{l}\gt$, ansonsten ist $\delta_{l} < 0$. Klassisch gilt $l\,\hbar \approx \vert\vec{p}\vert\,b$, wobei b der Stoßparameter ist. Die Summation über alle l in (1.14) oder (1.15) ist also äquivalent einer Integration über alle möglichen Stoßparameter in der klassischen Theorie.

Setzen wir für die gestreute Welle die ungestörte Kugelwelle ein, so erhalten wir die erste Born-Näherung für die Streuphasen

$$\delta_{l}^{\mathrm{B1}} = -k \int\limits_{0}^{\infty}\! U(r)\,j_{l}^{2} (kr)\,r \,{\mathrm d}r \; .$$ (1.17)

(1.17) gilt, falls die Phasen für alle l klein gegenüber eins sind. Wir können dann in (1.14) die Exponentialfunktion bis erster Ordnung entwickeln, sodaß wir für (1.14) erhalten

$$\begin{eqnarray} f(k,\theta)^{\mathrm{B1}}=\frac{1}{k}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \delta_{l}\,P_{l}(\cos \theta)\; . \end{eqnarray}$$ (1.18)

Die Reihe kann unter Zuhilfenahme von [AS72]

$$\frac{\sin q\,r}{q\,r} = \sum_{l} (2l+1)\,P_{l}(\cos\theta) j_{l}^{2}(kr)$$ (1.19)

aufsummiert werden und liefert die bekannte Born-Streuamplitude erster Ordnung

$$\begin{eqnarray}f(q)^{\mathrm{B1}}&=& -\int_{0}^{\infty} U(r)\,\frac{\sin{qr}}{qr}\,r^2 \,{\mathrm d}r \; , \end{eqnarray}$$ (1.20)

wobei wir den Impulsübertrag $q= \vert\vec{k}-\vec{k'}\vert$ des gestreuten Elektrons eingeführt haben, da in der Born-Näherung die Streuamplitude nur vom Impulsübertrag abhängt. Interessanterweise erfüllen die Streuphasen $\delta_l$ (1.17) die Friedel-Summenregel (Anhang E), wenn man als Störpotential ein exponentiell geschirmtes Coulomb-Potential annimmt. Diese Regel über die Summe aller zusätzlichen Energiezustände, die eine Störstelle in einem Festkörper erzeugt, stellt eine Art Erhaltungssatz für die Ladung in einem Festkörper dar.