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Integraldarstellung des Streuproblems
Die Lösung des Streuproblems (1.1)
führte uns auf die Integralgleichung (1.26)
für .
Diese kann nach Fredholm allgemein geschrieben werden als
(1.30) |
mit dem Kern
(1.31) |
(1.30) wird als Fredholm-Gleichung bezeichnet
[WO75].
ist eine Konstante, die die Stärke des Potentials charakterisiert.
Das Streuproblem ist nun reduziert auf die Lösung einer Integralgleichung
der Form (1.30) mit einem Potential U,
das im Kern (1.31) vorkommt. Bei einem gegebenen
physikalischen Problem ist U gegeben, sodaß wir
eins setzen können. Von einem allgemeineren mathematischen Standpunkt
wollen wir jedoch
als Parameter der Integralgleichung betrachten. Nach Fredholm kann die
Lösung von (1.30), falls eine solche
existiert, geschrieben werden als
(1.32) |
mit
(1.33) |
(1.34) |
Man kann zeigen, daß die beiden Reihen und für jedes konvergieren vorausgesetzt, daß stetig ist [WO75], wenn also links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und identisch sind. Falls , dann gibt (1.33) und (1.34) eingesetzt in (1.32) die Lösung von (1.30).
Bei Streuproblemen ist der Kern (1.31) singulär für . Man kann diese Singularität umgehen, indem man und in (1.32) formal mit multipliziert, sodaß wir Ausdrücke für und erhalten, in denen alle , gleich Null werden [JP51,MF53b].