4.3 Die statische Rekombinationsgleichung  

Die statische Rekombinationsgleichung erhält man aus der dynamischen, indem man in (4.5) dn_t/dt=0 setzt. Da sich die lokale Besetzungsfunktion f_o mit der Zeit nicht ändert, müssen die Nettorekombinationsraten der Elektronen und Löcher gleich sein

$$\begin{eqnarray} R_{n,net}=R_n-G_n=R_{p,net}=R_p-G_p\; . \end{eqnarray}$$ (4.20)

Die Größen N_p,eff,N_n,eff kann man über das intrinsische Niveau ausdrücken

$$\begin{eqnarray} N_{n,eff}&=& N_c\cdot e^{\left(-\frac{E_c-E_t}{k_B\cdot T_L}\ri... ...ight)}=n_i\cdot e^{\left(\frac{E_i-E_t}{k_B\cdot T_L}\right)}\; . \end{eqnarray}$$ (4.21)

Schreibt man die Nettoraten (4.20) explizit an, so erhält man mit (4.14),(4.17)

$$\begin{eqnarray} R_{net}&=&\sigma_n\cdot v_{th,n}\cdot N_t\left[n\cdot(1-f_o)-f_... ..._o)\cdot e^{\left(\frac{E_i-E_t}{k_B\cdot T_L}\right)}\right]\; . \end{eqnarray}$$ (4.22)

Löst man (4.22) nach f_o auf, erhält man

$$\begin{eqnarray} f_o=\frac{\sigma_n\cdot v_{th,n}\cdot N_t\cdot n+\sigma_p\cdot ... ... N_t\cdot (n+n1)+\sigma_p\cdot v_{th,p}\cdot N_t\cdot (p+p1)}\; , \end{eqnarray}$$ (4.23)

wobei die Abkürzungen

$$\begin{eqnarray} n1=n_i\cdot e^{\frac{E_t-E_i}{k_B\cdot T_L}}\qquad p1=n_i\cdot e^{\frac{E_i-E_t}{k_B\cdot T_L}} \end{eqnarray}$$ (4.24)

verwendet wurden. Setzt man (4.23) in die rechte Seite von (4.22) ein, so erhält man

$$\begin{eqnarray} R_{net}=\frac{\sigma_n\cdot \sigma_p \cdot v_{th,n}\cdot N_t\cd... ...\cdot p-p1\cdot n1)}{\sigma_n\cdot(n+n1)+\sigma_p\cdot(p+p1)}\; . \end{eqnarray}$$ (4.25)

Division durch $\sigma_n\!\cdot\!\sigma_p\!\cdot \!v_{th,n}\!\cdot\! N_t$ ergibt die klassische stationäre Form der Nettorekombinationsrate

$$\begin{eqnarray} R_{net}=\frac{n\cdot p-p1\cdot n1}{\frac{1}{\sigma_p\cdot v_{th... ...)}=\frac{n\cdot p-n_i^2}{\tau_p\cdot(n+n1)+\tau_n\cdot(p+p1)}\; . \end{eqnarray}$$ (4.26)

Die Größen $\tau_n$ und $\tau_p$ bezeichnet man üblicherweise als Lebensdauer der Elektronen bzw. Löcher. Bei konstanter thermischer Geschwindigkeit ist die Lebensdauer eines Ladungsträgers umso größer, je geringer die Fehlstellendichte ist. Im Gegensatz dazu geben die Einfangzeiten in (4.8) jene Zeit an, in der im Mittel eine Fehlstelle einen Ladungsträger einfängt. Die Einfangzeit ist umso größer, je kleiner die Konzentration der freien Ladungsträger ist. Gleichung (4.26) beschreibt den stationären Generations/Rekombinationsprozeß, der auch oft als stationärer SHOCKLEY-READ-HALL-Prozeß (SRH) bezeichnet wird. Die Abhängigkeit der Lebensdauern $\tau_{n,p}$ von der Gittertemperatur T_L ist nach [55] implementiert

$$\begin{eqnarray} \tau_{n,p}^{o}=\frac {1}{\sigma_{n,p}\cdot v_{n,p,therm}(300\ma... ...L)=\tau_{n,p}^{o} \cdot \left( \frac{300}{T_L} \right) ^{1.5}\,. \end{eqnarray}$$ (4.27)

Aus Gleichung (4.26) erkennt man, daß die Generation von Ladungsträgern bei einer Annahme von $\tau_{n,p}$durch n_i² begrenzt ist. Liegt Rekombination vor, so hängt die maximale Rekombinationsrate von dem Produkt aus $n\!\cdot\! p$ ab, welches im Gegensatz zu n_i² beliebig groß werden kann. Der Ableitung von Gleichung (4.26) liegt jedoch die Annahme zugrunde, daß die Anzahl der am Rekombinationsprozeß teilnehmenden Ladungsträger wesentlich kleiner ist, als die Fehlstellenanzahl N_t. Dadurch ist es möglich, in der Herleitung von (4.26) die Umordnungszeiten der Fehlstelleatome zu vernachlässigen. Übersteigen die Konzentrationen der freien Ladungsträger die Fehlstellenkonzentration, so wird der Rekombinationsprozeß durch die Umordnungszeiten der Fehlstellen mitbeeinflußt. Die tatsächliche auftretende Rekombinationsrate sättigt deshalb für hohe Ladungsträgerkonzentrationen im Gegensatz zu (4.26). Eine Behandlung dieser Thematik kann in [16,59] nachgelesen werden.