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6.2.2 Implementierung des hydrodynamischen Stoßionisationsmodells

In diesem Abschnitt sollen noch Details der Implementierung des hydrodynamischen Modells in MINIMOS-NT eingegangen werden. Während die Berechnung der Ionisationsraten im Drift-Diffusionsmodell von der lokal kaum veränderlichen Feldstärke abhängt, so hängen die hydrodynamischen Ionisationsraten von der lokalen Trägertemperatur ab. Aufgrund der Erhaltung des Energieflusses ist sie stark an die lokale Trägerkonzentration im Verarmungsgebiet gekoppelt. Während das Potential im Bauteil bereits entsprechend der verlangten Genauigkeit gelöst ist, sind die Trägertemperaturen und Konzentrationen in den Verarmungsgebieten noch weitgehend unbestimmt (siehe Abschnitt 7.2). Um einen glatten Verlauf der Generationsraten zu erhalten, wird die Berechnung dieser Raten daher erst dann durchgeführt, wenn das nichtlineare Gleichnungssystem nahe an der Gesamtlösung ist. Ein Kriterium für die Bewertung liefert dabei die globale Änderungsnorm (Updatenorm), die ein Maß für die Änderung der Lösungsvariablen zwischen zwei aufeinanderfolgenden linearisierten Iterationsschritten, darstellt (siehe Abschnitt 7.2.2). Sinkt diese Norm unter einen gewissen Wert, der als Parameter spezifizierbar ist, so wird eine Berechnung der Generationsraten durchgeführt. Entfällt aufgrund der großen Änderungsnorm die Berechnung, so müssen die alten Werte der Generationsraten wieder in das Gleichungssystem eingetragen werden. Ein Abschalten der entsprechenden Eintragsfunktion in das Gleichnungssystem ist deshalb nicht möglich.

Um einen glatten Verlauf der Generationsraten zu erhalten, werden die neu errechneten Raten mit den alten Werten gemittelt. Da der Wertebereich der Generationsraten im Verlauf der Simulation viele Größenordnungen umfassen kann, ist es zusätzlich sinnvoll, die neu errechneten Raten um einen bestimmten Maximalfaktor anwachsen zu lassen.

Ein weiterer Modellparameter ist die Gesamtzahl der zulässigen Neuberechnungen der Generationsraten. Ist man von dieser Gesamtzahl noch weit entfernt, dann wird der einfache Mittelwert der letzten und der neuberechneten Generationsrate für die zukünftige Rate verwendet. Je weniger Neuberechnungen noch möglich sind, umso stärker wird mit den alten Werten gewichtet.

Als zusätzliches Kriterium für eine Neuberechnung der Generationsraten kann ein Vergleich der Abweichung zweier aufeinanderfolgender Berechnungen der Raten dienen. Liegt die maximale Abweichung aller Punkte des Simulationsgitters innerhalb einer gewissen Grenze, welche durch einen Modellparameter angegeben wird, so entfällt eine Neuberechnung. Diese Vorgangsweise kann als Abbruchbedingung verwendet werden.

Werden Dioden in Flußrichtung simuliert, so ist eine stärkere Dämpfung des Potentials notwendig, um Konvergenz zu erreichen (siehe Abschnitt 7.2). Lawinendioden verhalten sich nach dem Durchbruch sehr ähnlich. Aus diesem Grund wird die Dämpfung des Potentials von der während der Simulation errechneten Maximalgenerationsrate abhängig gemacht. Dadurch ist es möglich, Durchbruchkennlinien vor dem Durchbruch mit geringer Iterationsanzahl zu rechnen.

Die momentane Implementation des hydrodynamischen Stoßionisationsmodells trägt keine Ableitungen in die JACOBI-Matrix des Gleichungssystems ein. Trotz hoher Generationenraten, wie z.B. nach einem Durchbruch mit $\mathrm G_{max} = 10^{28} s^{-1}cm^{-3}$, gibt es dabei keine Probleme, Konvergenz zu erreichen.

Da das implementierte Modell für unterschiedliche Gittertemperaturen geeignet ist, muß sichergestellt sein, daß auch bei hohen Gittertemperaturen die Generationsrate verschwindet, wenn sich Gitter- und Trägertemperatur nähern. Besonders in Bereichen mit hoher Ladungsträgerdichte, wie z.B. in hochdotierten Zonen, muß dies gewährleistet sein, da die Generationsrate proportional der Teilchendichte ist. Ein Ausweg könnte sein, die Temperaturdifferenz zwischen Träger- und Gittertemperaturen als Argument in (6.11) zu verwenden. Dies widerspricht jedoch den physikalischen Modellgrundlagen, die von einer Inertialenergie der Träger ausgehen. Da jedoch der Energiefluß in hochdotierten Gebieten begrenzt sein muß, ist dies gleichbedeutend mit einer sehr geringen Temperaturdifferenz zwischen den Trägern und dem Gitter. Aus diesem Grund kann man die Generationsraten überall dort Null setzten, wo die relative Differenz zwischen Träger- und Gittertemperatur unter einem gewissen Wert liegt (momentan bei 1%).

Die meiste Erfahrung in der Spezifikation der Modellparameter benötigt man für die Angabe, wie oft die Generationsraten beim Unterschreiten der globalen Änderungsnorm neuberechnet werden sollen. Dabei muß in jedem Fall garantiert sein, daß der Wertebereich der maximalen Generationsraten auch angenommen werden kann. Die Information zur Bewertung kann mit einer entsprechenden Steueranweisung ausgegeben werden, wobei nach jeder Neuberechnung der Generationsraten die entscheidenden Größen angezeigt werden.


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Martin Knaipp
1998-10-09