3.1 Kristallstruktur  

  Die ideale Kristallstruktur besteht aus einer atomaren Basis und einer periodischen Anordnung dieser Basis im Raum. Alle Punkte, die mit ganzzahligen Kombinationen l₁, l₂, l₃ der primitiven Gittervektoren $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ erreicht werden, bilden das Bravais Gitter $\vec{R}$, kurz Gitter genannt,

$$\vec{R} = l_1\,\vec{a}_1 + l_2\,\vec{a}_2 + l_3\,\vec{a}_3.$$ (3.1)

Die primitiven Gittervektoren $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ spannen die nicht eindeutige Elementarzelle  auf, die genau einen Gitterpunkt enthält (Abbildung 3.1). Eine andere Elementarzelle ist die sogenannte Wigner-Seitz Zelle. Abbildung 3.1 zeigt auch die übliche Definition der Gitterkonstanten a für kubische HL. Elementhalbleiter und III-V Verbindungen zeigen alle kubischen Typ (kubisch flächenzentriertes Gitter). Die Basis besteht bei ersteren aus zwei gleichen Atomen (Diamantstruktur) beziehungsweise aus den verschiedenen Anionen und Kationen (Zinkblendestruktur). In beiden Fällen ergeben sich tetragonale Anordnungen der nächsten Nachbarn (Abbildung 3.2). Jeder Gittertyp ist charakterisiert durch seine Symmetrieeigenschaften.

  

Abbildung 3.1: Elementarzelle des
kubisch flächenzentrierten Gitters

  

Abbildung 3.2: Kristallaufbau der
Zinkblendestruktur

Eine gitterperiodische Funktion, $f(\vec{r}) = f(\vec{r}+\vec{R})$, läßt sich durch eine Fourierreihe darstellen, $f(\vec{r}) = \sum_i A_i\,\exp(j\,\mbox{${\vec{G} \cdot \vec{r}}$})$, wobei gilt:

$$\vec{G} = v_1\,\vec{b}_1 + v_2\,\vec{b}_2 + v_3\,\vec{b}_3\,.$$ (3.2)

$\vec{G}$ bildet das sogenannte reziproke Gitter mit ganzzahligen Kombinationen v_i aus den Basisvektoren

$$\vec{b}_1 = 2\,\pi \frac{\vec{a}_2 \times \vec{a}_3}{\vec{a... ...es \vec{a}_2}{\vec{a}_1 \cdot \vec{a}_2 \times \vec{a}_3} \,.$$ (3.3)

Das reziproke Gitter zum kubisch flächenzentrierten Gitter ist das kubisch raumzentrierte (NaCl-Gitter) und umgekehrt. Die Wigner-Seitz Zelle des reziproken Gitters nennt man die Brillouinzone  (BZ), die in Abbildung 3.3 mit der üblichen Nomenklatur der Punkte und Richtungen hoher Symmetrie dargestellt ist.

  

Abbildung 3.3: Brillouinzone des kubisch flächenzentrierten Gitters