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3.2 Bandstruktur  

  Bloch zeigte, daß für beliebige periodische Potentiale die Wellenfunktion der Kristallelektronen beschrieben wird durch

 \begin{displaymath}
 \psi_i(\vec{k},\vec{r}) = u_i(\vec{r})\, \exp(j\,\mbox{${\vec{k} \cdot \vec{r}}$})\,.
\end{displaymath} (3.4)

Die sogenannten Blochfunktionen sind also das Produkt einer ebenen Welle und einer Funktion ui, welche dieselbe Periodizität wie das Potential selbst aufweist, das heißt $u_i(\vec{r}) = u_i(\vec{r}+\vec{R})$.Die Schrödingergleichung  kann also mittels Fouriertransformation unter Verwendung der atomaren Potentiale gelöst werden und liefert die Energieeigenwerte $E_i(\vec{k})$, die Bandstruktur des Kristalls[*]. Es gibt viele Verfahren zur numerischen Berechnung der Bandstruktur [79], zu den bekanntesten zählen die Pseudopotentialmethoden  [39]. Folgende Punkte sind zu beobachten:


  
Abbildung 3.4: Bandstruktur von GaP
\begin{figure}
 \epsfxsize\textwidth
 \epsfbox{ps/gap.eps}\end{figure}


  
Abbildung 3.5: Bandstruktur von GaAs
\begin{figure}
 \epsfxsize\textwidth
 \epsfbox{ps/gaas.eps}\end{figure}

Die Ladungsträger (Elektronen) bewegen sich im Kristall quasi wie freie Teilchen mit dem Impuls $\hbar\,\vec{k}$ (``nearly free electron'') mit einer richtungsabhängigen effektiven Masse . Der Tensor der inversen effektiven Masse ist definiert als

 \begin{displaymath}
 (m^{-1})_{ij}= {1\over \hbar^2}\; 
 {\partial^2 E \over \partial k_i\,\partial k_j}\,.
\end{displaymath} (3.5)

Die Beschreibung der Minima im LB  erfolgt in der effektiven Masse Approximation (EMA) im Hauptachsensystem der Täler durch

 \begin{eqnarray}
 E(\vec{k}) & = & {\hbar^2\,k^2 \over 2\,m}, \\ 
 E(\vec{k}) & ...
 ... {m_{\mathrm{t}}^{}}} + {k_z^2 \over {m_{\mathrm{l}}^{}}}\right),
\end{eqnarray} (3.6)

wobei die Energie vom Talminimum gemessen wird. Die Flächen konstanter Energie sind Kugeln oder Rotationsellipsoide mit verschiedener longitudinaler und transversaler Masse ${m_{\mathrm{l}}^{}}$ und ${m_{\mathrm{t}}^{}}$. Das Leitungsband wird modelliert durch 

Die Maxima im Valenzband  haben nicht diese einfache Symmetrie und werden üblicherweise durch das sogenannte ``warped band'' Modell [165]  beschrieben,

 \begin{displaymath}
 E(\vec{k}) = {\hbar^2\,k^2 \over m} \left(1 - g(\theta,\phi)\right),
\end{displaymath} (3.7)

das nicht die Definition eines effektive Masse Tensors erlaubt. Das Valenzband wird modelliert durch

Der energetische Gültigkeitsbereich von (3.6)-(3.8) kann durch einen Nichtparabolizitätsparameter  $\alpha^{}$ ausgedehnt werden,

 \begin{displaymath}
 E\,(1+\alpha^{}\,E) = \gamma(\vec{k})\,,
\end{displaymath} (3.8)

wobei $\gamma(\vec{k})$ eine der obigen Bandformfunktionen $E(\vec{k})$ ist. Für das VB ist diese Beschreibung trotzdem keine ausreichende Verbesserung, man muß daher aufwendigere Reihenentwicklungen (``spherical harmonics'') verwenden [114].



 
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Christian Koepf
1997-11-11