5.1.3 Dotierungsabhängigkeit  

  Im Rahmen dieser Arbeit werden nur substitutionelle flache Störstellen  (``shallow impurities''), das sind Dopanden auf Gitterplätzen mit Ionisierungsenergien von wenigen meV ($<k_{\mathrm{B}}\,T$), die mit Ausnahme tiefer Temperaturen vollständig ionisiert sind, behandelt. Tiefe Störstellen (``traps'') werden nicht betrachtet, sie haben keinen Einfluß auf die Bandcharakteristik an sich. Im Bereich hoher Dotierung beziehungsweise hoher Trägerkonzentration treten einige Vielteilcheneffekte  (``many body effects'' ) auf. Das sind Effekte, die nur durch Interaktion mehrerer Teilchen - im Gegensatz zum sonst verwendeten Bild des einzelnen, ionisierten Dopanden - zustande kommen. Diese Effekte beeinflussen die elektronische Struktur besonders in Nähe der Bandkanten wesentlich [181]:

• Bei Hochdotierung verbreitern sich die diskreten Störstellenniveaus der Donatoren ${E_{\mathrm{d}}^{}}$ beziehungsweise Akzeptoren ${E_{\mathrm{a}}^{}}$ zu Störstellenbändern (``impurity band'') , in denen bei tiefen Temperaturen anomaler Elektronentransport über Tunneln zwischen den Störstellen stattfinden kann (``hopping conduction'' ) [152].
• Die örtlich zufällige Verteilung der Störstellen bewirkt erlaubte Zustände im verbotenen Bereich (``tail states'' ). Die Bandformfunktion reicht in die klassischerweise verbotene Bandlücke hinein und weicht von der einfachen analytischen Form in (3.6) ab. Die resultierende DOS wird meist in der von Kane [105] vorgeschlagenen Form modelliert (``Kane function'' ). Dabei werden aber ${E_{\mathrm{c}}}$ und ${E_{\mathrm{v}}}$, welche die räumlich gemittelte Position der Bandkanten darstellen, selbst nicht verschoben.
• Vielteilcheneffekte beeinflussen aber auch die Bandkantenenergien selbst.
  Elektron-Elektron und Elektron-Donator Wechselwirkung reduzieren dabei ${E_{\mathrm{c}}}$, Löcher und Akzeptoren erhöhen analog ${E_{\mathrm{v}}}$. Eine einfache Vorstellung dabei ist eine Interaktion über das Coulomb-Potential einer Punktladung. Die Verschiebung der Bandkantenenergien ist näherungsweise dem mittleren Abstand der Dopanden ($d\propto N_{\mathrm{D}}^{-\frac{1}{3}}$) umgekehrt proportional [138],
  

  $$\begin{eqnarray} \Delta E_{\mathrm{c}}^{}(n) & = & -{\zeta_{\mathrm{c}}}\;n^\fr... ...{v}}^{}(p) & = & {\zeta_{\mathrm{v}}}\;p^\frac{1}{3}\,. \nonumber \end{eqnarray}$$ (5.7)

  
  
  Dabei kann n beziehungsweise p einerseits von Dotierung im thermodynamischen Gleichgewicht herrühren (Quasineutralität $n\approx N_{\mathrm{D}}$, $p\approx N_{\mathrm{A}}$) oder die Ladungsträgerkonzentration im undotierten, hochangeregten Fall sein (optisch induziert, Hochinjektion). ${\zeta_{\mathrm{c}}}$ und ${\zeta_{\mathrm{v}}}$ sind materialabhängige Konstanten. Der Effekt auf das LB ist in jedem Fall stärker als auf das VB. Ein komplexeres Modell wurde von Jain et al. angegeben. Es berücksichtigt mehr relevante Vielteilcheneffekte und hat die Form [98,100]
  

  $$\Delta E_{\mathrm{g}}^{}(n) = -\left({\zeta_{\mathrm{1}}}\;... ...}}}\;n^\frac{1}{4}+{\zeta_{\mathrm{3}}}\;n^\frac{1}{2}\right).$$ (5.8)

  
  
  Von diesen Autoren wurde postuliert, daß zwar für p-Material die einfache Beziehung (5.7) das Verhalten in guter Näherung wiedergibt, für n-dotierte HL hingegen nicht. Andererseits überschätzt (5.8) für direkte n-Typ HL die Korrektur quantitativ erheblich, sodaß die Autoren für GaAs schließlich eine modifizierte Form vorschlugen [99], die sehr gut experimentelle Daten reproduziert. Eine genaue Untersuchung für n-InP [189] ergab jüngst ebenso die krasse Überschätzung des Effekts mittels (5.8), wobei als Ursache das große Verhältnis der lh und hh Massen - wie es bei direkten III-V HL auftritt - festgestellt wurde. Die Autoren kamen auch zum Schluß, daß die einfache Formel (5.7) mit einem im Vergleich zu älteren Werten deutlich (um den Faktor 3) größeren Koeffizienten die Meßdaten gut wiedergibt. Für InAs ist kein sinnvoller Wert bekannt, die Verwendung von (5.8) mit den Parameterwerten aus [98] ist aus den geschilderten Gründen jedenfalls nicht zu empfehlen. Die Parameterwerte sind in Tabelle 5.2 angegeben.
  
   

   

  Tabelle 5.2: Koeffizienten der Verschiebung der Bandkanten aufgrund von Hochdotierung nach (5.8)

  Größe	AlAs	GaAs	InAs	InP
  ${\zeta_{\mathrm{1}}}$ [$10^{-8}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{cm}$]	0.976a,2.54b	6.2c, 6.6d		7.14e,2.25d
  ${\zeta_{\mathrm{2}}}$ [$10^{-7}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{cm}^\frac{3}{4}$]	4.33a	2.36c
  ${\zeta_{\mathrm{3}}}$ [$10^{-11}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{cm}^\frac{3}{2}$]	0.293a
  ${\zeta_{\mathrm{v}}}$ [$10^{-8}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{cm}$]	2.91b	2.6a, 2.4d	2.34b	2.69a

  
  

  ^a Ref. [98], theoretische Werte

  ^b nichtlineare Regression der Daten in Ref. [98]

  ^c Ref. [99], theoretische Werte

  ^d Ref. [181], Fit experimenteller Daten

  ^e Ref. [189], Fit experimenteller Daten

  
  
  

  Da meist nur ein Dopand in hoher Konzentration vorliegt, ist entweder $\Delta E_{\mathrm{c}}^{}=\Delta E_{\mathrm{g}}^{}$ oder $\Delta E_{\mathrm{v}}^{}=\Delta E_{\mathrm{g}}^{}$. Daher spricht man statt der Verwendung des exakteren Begriffs der Renormalisierung der Bandkantenenergie  meist kurz von ``band gap narrowing''  (BGN).

• Außerdem wird die Ionisierungsenergie   der Dopanden reduziert,
  

  $$\begin{eqnarray} {E_{\mathrm{D}}}& = & {E_{\mathrm{c}}}-{E_{\mathrm{d}}^{}}, \\... ...\mathrm{A}}}& = & {E_{\mathrm{a}}^{}}-{E_{\mathrm{v}}}, \nonumber \end{eqnarray}$$ (5.9)

  
  
  was man sich ebenfalls durch die örtliche Überlappung der Coulomb Potentiale der Dopanden veranschaulichen kann. Bei der kritischen Dotierung ${n_{\mathrm{crit}}}$ beziehungsweise ${p_{\mathrm{crit}}}$ wird die Ionisierungsenergie gleich Null, das LB oder VB verschmilzt mit dem Störstellenniveau. Man spricht dann vom Isolator-Metall Übergang  [151], der auch Mott Übergang  genannt wird. Diese kritische Konzentration ist erreicht, wenn der mittlere Abstand der Dopanden vergleichbar dem Bohrradius  ${a_{\mathrm{B}}}$ wird,
  

  $$\begin{eqnarray} \frac{1}{4}\,{n_{\mathrm{crit}}}^{-\frac{1}{3}} & \approx & {... ...rm{s}}\,{\gamma_{1}}}{{m_{p}^{*}}}\;{a_{\mathrm{B}}}\,. \nonumber \end{eqnarray}$$ (5.10)

  
  
  ${\gamma_{1}}$ ist der erste Parameter der Beschreibung der VB-Dispersion nach Luttinger [227] ähnlich (3.8). Der Bohrradius ist leicht verschieden für n und p Material, bei III-V HL ist er typischerweise 10 nm, ${n_{\mathrm{crit}}}$ und ${p_{\mathrm{crit}}}$ liegen daher im Bereich 10¹⁶-10¹⁷cm^-3. Die Dotierungsabhängigkeit der Ionisierungsenergie wird nach Debye [46] modelliert durch
  

  $$\begin{eqnarray} {E_{\mathrm{D}}}& = & {E_{\mathrm{D}}}_0 \left(1 - \left(\frac... ...m{A}}}{{p_{\mathrm{crit}}}}\right)^{\frac{1}{3}}\right).\nonumber \end{eqnarray}$$ (5.11)

  
  

  Dieser Übergang zum metallischen Verhalten ist zwar prinzipiell ein anderer als der geläufige Fall der Entartung  des HL, wenn das Ferminiveau das Ladungsträgerband erreicht, praktisch tritt er aber bei größenordnungsmäßig vergleichbaren Konzentrationen ein.

Es soll noch darauf hingewiesen werden, daß alle obigen Effekte, die im wesentlichen die Bandlücke reduzieren (Rotverschiebung bei Rekombination), im Falle von Generation mit einer Blauverschiebung durch die hohe Besetzung des Ladungsträgerbands konkurrieren (``Burstein-Moss shift'' ), da die Elektronen nur freie Zustände im Band annehmen können, das heißt in der Nähe der Fermienergie. Dieser Effekt muß bei der Interpretation von Absorptionsspektren zur Bestimmung von ${E_{\mathrm{g}}}$ oder ${\zeta_{\mathrm{c}}}$, ${\zeta_{\mathrm{v}}}$ in stark dotierten HL natürlich berücksichtigt werden [45]. Da die Entartung bei HL mit kleinerer effektiver Masse früher einsetzt (vgl. Abschnitt 3.2.1), ist er besonders bei n-Typ III-V Verbindungen wichtig.