6.1.8 Einfluß mechanischer Spannung  

  Im Gegensatz zu indirekten HL, bei denen unter Verspannung aufgrund der individuellen Verschiebung der Täler die Beweglichkeit bei schwachen Feldern anisotrop  wird, resultiert dieses Verhalten bei direkten HL aus der Anisotropie der effektiven Masse des $\varGamma$ Tales. Im Bereich hoher Feldstärken ist schon zufolge der unterschiedlichen transversalen und longitudinalen Massen der L und X Minima, die bei hohen Feldern auch bei direkten HL populiert werden, für alle kubischen HL eine Abhängigkeit der Transporteigenschaften von der Orientierung des elektrischen Felds zu den Kristallhauptachsen gegeben (vgl. dazu Abschnitt 6.1.9). Um den quantitativen Einfluß der Verspannung auf die Niederfeldbeweglichkeit zu untersuchen, wurden MC Simulationen mit Verwendung einer ellipsoidalen Dispersion für $\varGamma$ analog zu den höheren Tälern durchgeführt. Dabei wurden die in Abschnitt 5.2.5 aus den $\mbox{${\vec{k} \cdot \vec{p}}$}$ Formeln gewonnenen Werte für die effektiven Massen mit ihren verschiedenen Komponenten parallel und normal zur Grenzfläche eingesetzt. Das Ergebnis für die Beweglichkeiten parallel und senkrecht zu (001) Grenzflächen, $\mobpar{}$ und $\mu_{\perp}^{}$, ist für Ga_xIn_1-xAs mit verschiedenen Zusammensetzungen als Funktion der Parallelverspannung in den Abbildungen 6.19 und 6.20 dargestellt.

  

Abbildung 6.19: Elektronenbeweglichkeit parallel zur Grenzfläche $\mobpar{}$ in Ga_xIn_1-xAs für verschiedene Zusammensetzungen als Funktion der Verspannung $e_\Vert$

  

Abbildung 6.20: Elektronenbeweglichkeit normal zur Grenzfläche $\mu_{\perp}^{}$ in Ga_xIn_1-xAs für verschiedene Zusammensetzungen als Funktion der Verspannung $e_\Vert$

Man erkennt, daß einerseits für kompressive Verspannung beide Werte unter der unverspannten Beweglichkeit $\mu_{\mathrm{0}}^{}$ liegen, wobei der Parallelwert $\mobpar{}$ größer als der Normalwert $\mu_{\perp}^{}$ ist. Für Dehnung liegen beide Werte über den ungestörten, $\mu_{\perp}^{}$ ist in diesem Fall größer als $\mobpar{}$.Mit Ausnahme von Ga-reichen Legierungen bei sehr großen tensilen Spannungen nehmen sowohl die Differenzen zwischen $\mobpar{}$ und $\mu_{\perp}^{}$ als auch die Abweichungen zu $\mu_{\mathrm{0}}^{}$ monoton mit der Verspannung zu. Anisotropie ist signifikant für $e_\Vert\gt 1\%$. Dieses Verhalten steht in unmittelbarem Zusammenhang mit den Werten der effektiven Massen. Man stellt nämlich fest, daß in sehr guter Näherung

$$\frac{\mobpar{}}{\mu_{\perp}^{}} = \frac{m_{\perp}^{}}{m_{\Vert}^{}}$$ (6.62)

erfüllt ist. Dieses Verhältnis erwartet man auch aus der analytischen Lösung der Boltzmanngleichung für ein einzelnes ellipsoidales Band mit verschiedenen Massen und isotroper Relaxationszeit. Definiert man eine mittlere Beweglichkeit $\mu_{\mathrm{av}}^{}$ aus $\mobpar{}$ und $\mu_{\perp}^{}$ analog zur Zustandsdichtemasse ${m_{\mathrm{d}}^{}}$  für anisotrope Täler,

$$\mu_{\mathrm{av}}^{} = \left(m_{\perp}^{} m_{\Vert}^{2}\right)^{{\textstyle {1\over 3}}},$$ (6.63)

so beobachtet man

$$\mu_{\mathrm{av}}^{} = \mu_{\mathrm{0}}^{} \left(\frac{{m_{0}^{}}}{{m_{\mathrm{d}}^{}}}\right)^{\eta}.$$ (6.64)

Dabei bezeichnet m₀ den Wert der unverspannten isotropen Masse. Der Exponent $\eta$ weicht über den ganzen Legierungsbereich nur sehr schwach von $\frac{3}{2}$ ab. Dieses für isotrope elastische Streuprozesse charakteristische Verhalten, das einer Relaxationszeit mit Massenexponent $-\frac{1}{2}$ entspricht, erstaunt auf den ersten Blick, da in GaInAs PO Streuung dominant ist (vgl. Abbildung 6.1). Diese ist sowohl inelastisch als auch anisotrop und daher existiert im strikten Sinn keine Relaxationszeit. Andererseits bedeutet obiges Ergebnis, daß die Annahme einer solchen selbst bei Raumtemperatur keine großen Fehler bewirkt, wie sich auch schon im unverspannten Fall und isotropem $\varGamma$ Minimum gezeigt hat. Die analytische Rechnung stimmt ja im parabolischen Fall sehr gut mit MC Simulationen überein, (6.64) ist hinsichtlich der Massenabhängigkeit auch konsistent mit (6.24).

Die Zusammenhänge (6.62)-(6.64) können dazu verwendet werden, ein Modell für die anisotrope Beweglichkeit unter Verspannung aufzustellen, das nur auf der ungestörten Beweglichkeit und den Modellen für die effektiven Massen beruht [111]. Kein zusätzlicher materialabhängiger Fitparameter ist nötig. Die Beweglichkeitskomponenten sind

$$\begin{eqnarray} \mobpar{} & = & \mu_{\mathrm{0}}^{}\, \frac{{m_{0}^{}}^{\eta}... ...ta {m_{\mathrm{d}}^{}}}{{m_{0}^{}}}\right)^{\eta-1}}\,. \nonumber \end{eqnarray}$$ (6.65)

Dabei entspricht $\mu_{\mathrm{0}}^{}$ der kombinierten Gitter- und Legierungsbeweglichkeit $\mu_{\mathrm{LA}}^{}$ aus Abschnitt 6.1.5, die Modelle der Massenparameter sind in Abschnitt 5.2.5 beschrieben. In Abbildung 6.21 ist ein Vergleich der MC Daten mit den vom Modell gelieferten Beweglichkeitswerten gezeigt. Die Übereinstimmung ist gut, speziell für kleine x Werte und schwache Verspannung exzellent. Das vorgeschlagene Modell ist aufgrund seiner Formulierung mit den unabhängigen Parametern x und $e_\Vert$ auch für relaxierte Schichten anwendbar. Es muß aber klar sein, daß die so erhaltenen Werte dann obere Schranken der Beweglichkeit darstellen, da die auftretenden Versetzungen eine grobe Gitterstörung sind und eine starke Reduktion der Beweglichkeit verursachen können [122].

  

Abbildung 6.21: Vergleich von MC Daten mit dem analytischen Modell der Elektronenbeweglichkeiten $\mobpar{}$ und $\mu_{\perp}^{}$ in Ga_xIn_1-xAs für verschiedene Zusammensetzungen als Funktion der Verspannung $e_\Vert$

Im besonders wichtigen Fall der kohärenten Epitaxie sind x und $e_\Vert$ natürlich über (4.10) verkoppelt. Die Beweglichkeit für pseudomorphe Verspannung  von Ga_xIn_1-xAs auf GaAs oder AlGaAs Substrat ist in Abbildung 6.22 gezeigt. Zum Vergleich ist auch die unverspannte Beweglichkeit dargestellt. Als zweite Abszisse ist die Verzerrung $e_\Vert$ aufgetragen, die in diesem Fall dem In-Gehalt in guter Näherung proportional ist. Die kompressive Belastung reduziert die Beweglichkeit mit zunehmendem In-Gehalt stärker, auch die Anisotropie nimmt zu. Im technisch wichtigen Bereich bis etwa 30% In, das entspricht $\vert e_\Vert\vert<2\%$, ist die Anisotropie in der Tat vernachlässigbar, nicht aber die Reduktion von $\mu_{\mathrm{}}^{}$. Der zweite wichtige Anwendungsfall ist Ga_xIn_1-xAs auf InP Substrat, dessen Beweglichkeit in der gleichen Weise in Abbildung 6.23 gezeigt ist. Für Kompression (x<0.47) herrscht qualitativ dasselbe Verhalten wie bei GaAs Substrat. Für Dehnung (x>0.47) hingegen erhält man erhöhte Beweglichkeitswerte mit einem ziemlich flachem Verlauf über x, auch die Anisotropie ist hier ausgeprägter.

  

Abbildung 6.22: Beweglichkeiten $\mobpar{}$ und $\mu_{\perp}^{}$ in Ga_xIn_1-xAs für pseudomorphe Verspannung auf GaAs als Funktion der Legierungszusammensetzung und der Verspannung $e_\Vert$ im Vergleich zum unverspannten Wert

  

Abbildung 6.23: Beweglichkeiten $\mobpar{}$ und $\mu_{\perp}^{}$ in Ga_xIn_1-xAs für pseudomorphe Verspannung auf InP als Funktion der Legierungszusammensetzung und der Verspannung $e_\Vert$ im Vergleich zum unverspannten Wert