3.4.1 Das Modell von Brooks und Herring



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3.4.1 Das Modell von Brooks und Herring

 

Für die Implementierung wurde ein modifiziertes BH-Modell gewählt. Zunächst soll das BH-Modell in seiner ursprünglichen Form beschrieben werden.

Wegen des großen Massenunterschiedes zwischen Elektron und Ion wird während der Streuung die Position des Ions als starr angenommen. Das von der ionisierten Störstelle erzeugte Coulombpotential wird durch die umgebenden Elektronen abgeschirmt. Unter der Annahme, daß die Elektronen, die die Störstelle umgeben, der Boltzmannstatistik gehorchen, liefert eine einfache Rechnung ein exponentiell abgeschirmtes Coulombpotential [40][64]

 

Darin bedeutet die relative Dielektrizitätskonstante des Halbleiters und den Ionisierungsgrad der Störstelle. Für die reziproke Abschirmlänge ergibt sich für den angenommenen Fall des thermodynamischen Gleichgewichts der Kehrwert der Debye Länge

Man kann diesen Ausdruck in guter Näherung für thermodynamisches Nichtgleichgewicht anpassen, indem man die lokale Trägerkonzentration und eine Trägertemperatur , die aus der lokalen Energie ermittelt wird, einsetzt

 

Das Matrixelement nach Gleichung 2.48 ergibt sich mit der Fouriertransformierten des Streupotentials 3.57 zu

wobei das Überlappungsintegral wieder mit eins angenommen wurde. Damit kann die Übergangswahrscheinlichkeit mit Hilfe der Goldenen Regel (Gleichung 2.47) direkt angeschrieben werden als

Dabei wurde noch eine Multiplikation mit der Gesamtzahl der Störstellen im Halbleiter durchgeführt, da in der Herleitung nur von einer einzigen ionisierten Störstelle ausgegangen wurde. Das bedeutet eine Überlagerung der Wirkungen aller Störstellen mit gleichem Gewicht. Gerade diese Annahme erscheint als ein Nachteil des BH-Modells. Im folgenden Abschnitt wird eine Modifikation besprochen, die diese uniforme Gewichtung durch eine realistischere ersetzt.

Das Streupotential 3.57 ist zeitunabhängig. Deshalb tritt in der -Funktion in der Goldenen Regel 2.47 kein Term auf, der Streuprozeß ist also elastisch.

Da in der Literatur die Ausdrücke für die Coulombstreuung manchmal fehlerhaft, manchmal in einer anderen Nomenklatur angegeben sind, sollen diese hier etwas ausführlicher dargestellt werden.

Nach Gleichung 2.58 ergibt sich die differentielle Streurate aus der Übergangswahrscheinlichkeit zu

 

wobei die Ortsabhängigkeit der Koeffizienten explizit angegeben wurde.

Die Integration über alle Endzustände , die die totale Streurate liefert, kann für anisotrope Täler nur näherungsweise durchgeführt werden.

Wegen der -Funktion in Gleichung 3.62, die die Energieerhaltung beschreibt, kann die Integration über nach der Herring-Vogt-Transformation sehr einfach in Kugelkoordinaten ausgeführt werden. Dann ist aber auch , das im -Raum die einfache Darstellung

besitzt, zu transformieren. Bei der Darstellung von im -Raum tritt aber zusätzlich der Azimutwinkel auf, eine Tatsache, die die Integration über den Raumwinkel enorm erschwert und zu schwer handhabbaren Ausdrücken führt. Deshalb wird üblicherweise die Näherung eingeführt, auch im transformierten -Raum nach der obigen Gleichung anzusetzen. Interessanterweise wird diese Näherung in der Literatur nicht erwähnt. Auch Jacoboni ([49]), an dessen Ergebnisse für die Streuraten und Streuwinkel wir uns im weiteren halten werden, behauptet, daß die Ableitung auch für anisotrope Täler exakt sei. Der Ausdruck für die totale Streurate

 

gilt exakt für Nichtparabolizität und isotrope effektive Masse, die gleich der Zustandsdichte-effektiven-Masse ist, und näherungsweise für nichtparabolische, anisotrope Täler. Die reziproke Abschirmlänge geht in diese Gleichung durch den Energieausdruck

ein. Ersetzt man noch den Wurzelausdruck durch die Länge des transformierten Wellenvektors, so erhält man

 

Die totale Streurate hat bei der sehr kleinen Energie ein Maximum und nimmt mit steigender Energie ab. Die Störstellenstreuung nach diesem Modell ist also bei niedrigen Energien hoch. Jedoch ist der Einfluß auf die Driftgeschwindigkeit gering, da sich nur wenige Elektronen in diesem Energiebereich befinden [41].



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Martin Stiftinger
Wed Oct 12 11:59:33 MET 1994