5.5 Erzeugung einer Gleichgewichtsverteilung



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5.5 Erzeugung einer Gleichgewichtsverteilung

 

An den Kontakten wird angenommen, daß sich die Ladungsträger im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Während der Simulation müssen daher Zustände für die injizierten Elektronen entsprechend der Boltzmannstatistik erzeugt werden. Vielfach wird in der Literatur an den Kontakten eine Normalverteilung für die Geschwindigkeits- oder Impulskomponenten angenommen. Dies liefert jedoch nur für parabolische Täler eine Energieverteilung nach der Boltzmannstatistik. Der Fehler ist aber sehr gering, da sich die Information über die Anfangsbedingungen nach wenigen Streuvorgängen verliert.

 
Abbildung: Erzeugung einer Gleichgewichtsverteilung mit Hilfe der Verwerfungsmethode  

In dieser Arbeit wurde eine genauere Methode entwickelt, bei der zuerst die Energie entsprechend der Boltzmannstatistik gewählt wird und daraus die Länge des Wellenvektors berechnet wird. Die Winkelverteilung ist isotrop.

Wie schon bei der Berechnung der Gleichgewichtsenergie in Abschnitt 3.1.4, geht man auch hier von der Wahrscheinlichkeitsdichte aus, die sich aus der Zustandsdichte Gleichung 3.22 und der Boltzmannstatistik zusammensetzt. Im folgenden werden energieunabhängige Vorfaktoren weggelassen und zwei dimensionslose Größen und eingeführt,

Da nicht analytisch integrierbar ist, scheidet die direkte Methode zur Erzeugung der Zufallsvariablen aus.

Um die Zahl der Versuche beim sogenannten ,,Verwerfungsverfahren`` [27][49] zu reduzieren, setzen wir eine einfache Funktion an, die zwischen und größer als ist (Abbildung 5.6),

Darin bedeutet das absolute Maximum der Funktion . Weiters wird eine maximale Energie eingeführt, bei der die Boltzmannverteilung abgeschnitten wird. Diese Energie soll ein bis zwei Größenordnungen über der Gleichgewichtsenergie liegen. Der Wert von wird aus der Stetigkeitsbedingung

bestimmt. Da die Dichte analytisch integrierbar und die Stammfunktion invertierbar ist, kann die direkte Methode verwendet werden. Mit den so gewonnenen -verteilten Zufallszahlen wird nun durch das Verwerfungsverfahren eine Zufallsfolge mit -Verteilung erzeugt. Nach der Wahl eines wird ein isotrop verteilter Wellenvektor zur Energie gewählt. Der Mittelwert der erzeugten Zufallsfolge entspricht genau den Werten in der Tabelle 3.1, wenn der Nichtparabolizitätsfaktor variiert wird.



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Martin Stiftinger
Wed Oct 12 11:59:33 MET 1994