4.4.3 Zeitschrittsteuerung

Der Aufwand zur zeitlichen Integration des zu lösenden Problemes ist in etwa proportional der Anzahl der Zeitschritte. Zur Reduktion der Anzahl der Zeitschritte trachtet man daher, möglichst große Zeitschritte zu verwenden. Die obere Grenze für die Zeitschrittgröße ist erreicht, wenn der lokale Fehler $\tau$ dem maximal zulässigen Wert entspricht. Der Zeitschritt wird also entsprechend Gl. 4.18 so gewählt, daß

$$\Delta t_\mathrm{est}^2 \leq \left\Vert{\epsilon\frac{ f_n} {\frac{1}{2}{\frac{\partial{^2f}}{\partial{t^2}}}}}\right\Vert$$ (4.20)

erfüllt ist, wobei die zweite Ableitung nach der Zeit mittels Differenzenquotienten genähert und relativ zum Funktionswert am Ende des letzten Zeitschrittes innerhalb der Normbildung verwendet wird, $\epsilon$ ist dabei der eingestellte zulässige relative Fehler pro Zeitschritt.

Zur Vermeidung von starken Schwankungen der Zeitschrittgröße wird der neue Zeitschritt gemäß

$$\Delta t_\mathrm{neu}=\frac{\Delta t_\mathrm{est}+\Delta t_{n-1}}{2}$$ (4.21)

gedämpft. Durch diese Formulierung wird die Divergenz der Zeitschrittweitenfolge zur Gegenkopplung verwendet und somit die Divergenz und die Schwingungsneigung begrenzt. Zusätzlich wird die relative Änderung des Zeitschrittes im Verhältnis zum letzten Zeitschritt durch

$$\frac{1}{k} < \frac{\Delta t_\mathrm{neu}}{\Delta t_n} < k$$ (4.22)

auf den Faktor k begrenzt, $\Delta t_{n}$ und $\Delta t_{n-1}$ stehen dabei für den letzten beziehungsweise vorletzten Zeitschritt. So erhält man eine kontinuierliche Entwicklung der Zeitschrittweiten ohne starke Schwankungen.