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4.5.2 Dämpfungsverfahren

Im Falle starker Nichtlinearität des Funktionals $\mathbf {A}(\mathbf {{\hat{u}}})$ ist es für die Konvergenz des Verfahrens nötig, nur einen Teil der mit Gl. 4.23 berechneten Lösungsänderung $\Delta\mathbf {{\hat{u}}} = \left(\mathbf {{\hat{u}}_{n+1}}-\mathbf {{\hat{u}}_{n}}\right)$ zur Aktualisierung der Lösung entsprechend Gl. 4.26 zu verwenden. Die Dämpfung des Iterationsschemas indem nur ein Teil der berechneten Lösungsänderung akzeptiert wird, bewirkt eine signifikante Vergrößerung des Einzugsbereiches und ermöglicht oft erst die gewünschte Konvergenz des Verfahrens.

Die Wahl der Dämpfungskonstante hat großen Einfluß auf das Konvergenzverhalten und damit auch auf die Anzahl der notwendigen Iterationen. Zu starke Dämpfung bewirkt langsame asymptotische Annäherung an die Lösung, während zu schwache Dämpfung die Schwingungsneigung unter Umständen nicht unterbinden kann und das Verfahren daher divergiert.

Die gewählte Methode zur Bestimmung der Dämpfungskonstante nach Bank und Rose adaptiert die Dämpfungskonstante anhand der Iterationsgeschichte, sodaß nur dann gedämpft wird, wenn es notwendig ist [Ban81]. Die Dämpfungkonstante d läßt sich aus

\begin{displaymath}\frac{1}{d}\left( 1 - \frac{\left\Vert \mathbf {A}(\mathbf {\...
 ...bf {A}(\mathbf {\udach} _{n}) \right\Vert} \right) \leq \delta
\end{displaymath} (4.27)

ermitteln, wobei mit $0<\delta<1$ eingestellt werden kann, wie stark die Dämpfung sein soll. Mit wachsendem $\delta$ wird die Dämpfung restriktiver und das Newton-Verfahren stabiler, konvergiert aber auch langsamer. Eine Methode zur Ermittlung des optimalen Wertes für $\delta$ist in [Ban81] zu finden.

Werden mehr als eine gewisse Zahl von Iterationen zur Konvergenz benötigt, wird durch Verkleinerung des Zeitschrittes in der übergeordneten Zeitintegrationsschleife die Diagonaldominanz des Systems erhöht, wodurch die nichtlineare Konvergenz erleichtert wird.


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Ernst Leitner
1997-12-30