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5 Adaptierung der Rechengitter

 

Im Grunde ist der Anwender eines Simulators nur am Ergebnis der Berechnung interessiert, wobei die Spezifikation der Eingangsparameter möglichst einfach, die Wartezeit möglichst kurz und das Ergebnis am besten exakt sein soll. Im Kontrast dazu stehen die Komplexität der Aufgabe, die beschränkte Rechenleistung des Computers und die beschränkte Genauigkeit der verwendeten Diskretisierung. Es sind daher erhebliche Anstrengungen der Software-Entwickler nötig, um den Anforderungen des Anwenders möglichst nahezukommen.

In diesem Kapitel wird nun auf die stark miteinander verkoppelten Problematiken der numerischen Genauigkeit und der Rechenzeit eingegangen. Die Diskretisierungsfehler hängen im wesentlichen von der Art der Diskretisierung sowie von der Qualität und Feinheit des Rechengitters ab. Die Rechenzeit wird ihrerseits im wesentlichen von der Anzahl der Knotenpunkte des Gitters, der Kondition und Nichtlinearität des diskretisierten Problems bestimmt.

Die Forderung nach hoher Genauigkeit resultiert in der Forderung nach feiner Auflösung des Simulationsgebietes, während demgegenüber der Rechenaufwand steht, welcher in den meisten Fällen überproportional mit der Auflösung steigt. Bei genauerer Analyse typischer Lösungen stellt man fest, daß diese lokal vielfach quasi eindimensionalen Charakter haben. Diese Eigenschaft kann im Rechengitter dadurch widergespiegelt werden, indem in solchen Bereichen anisotrope Elemente verwendet werden. Die Anisotropie wird dabei so gewählt, daß der Diskretisierungsfehler in etwa gleich auf alle Richtungen verteilt ist. Ein typisches Beispiel dafür ist der Bauelementsimulator MINIMOS [Fis94b], wo für das Rechengitter im Kanal des MOS-Transistors genau jene Vorgangsweise äußerst erfolgreich beschritten wird.

Während bei MOS-Transistoren die Struktur der Lösung a priori bekannt ist, steht für Diffusionsprozesse in allgemeinen Geometrien keine derartige strukturelle Information zur Verfügung. Die strukturelle Anpassung des Rechengitters muß sich daher an der Startlösung des Diffusionsprozesses orientieren, wobei die Gitterdichte entsprechend der erlaubten Diskretisierungsfehler gewählt werden muß. Wird dabei die Richtungsabhängigkeit des Diskretisierungsfehlers berücksichtigt, spiegelt das Gitter die lokalen Anisotropien der Anfangslösung wider. Die Erzeugung solcherart angepaßter Gitter stellt das Thema aktueller Forschungsarbeiten dar [Bos96] [Con90] [Hit93].

Erschwerend kommt bei transienten Vorgängen wie der Diffusion hinzu, daß sich die Lösung von Zeitschritt zu Zeitschritt ändert. Damit jeder Zeitschritt effizient und genau berechnet werden kann, muß also nach jedem Zeitschritt die Verteilung der Diskretisierungsfehler kontrolliert werden. Falls dieser in Teilen des Simulationsgebietes die erlaubten Schranken verläßt, ist in Gebieten mit zu großem Diskretisierungsfehler eine Gitterverfeinerung zur Erhaltung der Lösungsgenauigkeit unerläßlich, während in Gebieten mit sehr kleinem Diskretisierungsfehler die Auflösung des Gitters verringert werden kann, um durch Verringerung der Anzahl an Knotenpunkten Rechenzeit einzusparen.

Da die Gitterdichte nach jedem Zeitschritt kontrolliert werden muß, werden hohe Ansprüche an die Effizienz des Adaptierungsalgorithmus und der Fehlerabschätzung gestellt. Der dazu notwendige Berechnungsaufwand sollte kleiner sein, als der Gewinn durch die geringere Anzahl an Gitterpunkten und Elementen.

Prinzipiell hat die Verwendung adaptiver Gitter den Vorteil von Rechenzeitgewinn durch die Minimierung der Größe der zu lösenden Gleichungssysteme. Beim Einsatz von Abschätzungsverfahren für den Diskretisierungsfehler kommt noch der sehr wichtige Aspekt der kontrollierten Genauigkeit der Lösung dazu. Erst dadurch kann wirklich viel Zeit eingespart werden, da für den Anwender die mühsame und meist nur sehr aufwendig durchführbare Kontrolle des Ergebnisses -- und die damit oft verbundenen Neuberechnungen -- wesentlich erleichtert werden.



 
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Ernst Leitner
1997-12-30