6.2.1 Fehlerabschätzung nach Zienkiewicz und Zhu

Sei

$${\hat{u}}= \sum{N_i u_i} = \mathbf {N \overline u}$$ (6.4)

die Näherungslösung des betrachteten Problems mit der Ordnung p, wobei N_i die Formfunktionen und u_i die zugehörigen Beiwerte darstellen. Weiters sei

$$\mathbf {\hat J} = D\mathbf {\nabla} (\mathbf { N \overline u})$$ (6.5)

der Partikelfluß anhand der Näherung mit der Ordnung (p-1). Dann setzen wir für diesen Fluß

$$\mathbf {J^*} = \mathbf {N \overline J}$$ (6.6)

mit der Ordnung p an, welcher $\mathbf {\hat J}$ approximiert und mittels gewichteter Residuen entsprechend

$$\int_\Omega{\mathbf {N}^T (\mathbf {J^*} - \mathbf {\hat J}) \,{\mathrm d}\Omega} = 0$$ (6.7)

ermittelt wird, woraus man

$$\mathbf {M} = \int_{\Omega}{\mathbf {N}^T \mathbf {N} \,{\mathrm d}\Omega}$$ (6.8)

als Systemmatrix erhält. Offensichtlich muß hier also ein Gleichungssystem mit der n-fachen Ordnung des Originalsystems gelöst werden, wobei n der Anzahl der Raumdimensionen des Problems entspricht.

Je nach Grad der Nichtlinearität des zugrundeliegenden Problemes sind in der Regel innerhalb der nichtlinearen Iterationsschleife mehrere Iterationen bis zur Konvergenz nötig. Aufgrund des sehr lokalen Charakters von Gl. 6.8 kann die Lösung näherungsweise mittels Gauß-Seidel-Iterationen effizient erfolgen, wenn man diese gemeinsam mit jeder Newton-Iteration des zugrundeliegenden Problemes durchführt. Die Lösung des aus Gl. 6.8 resultierenden Systems kann also entsprechend

$$\mathbf {J^*}_{n+1} = \mathbf {J^*}_n - \mathbf {C}^{-1} [ \mathbf {M} (\mathbf {J^*}_n - \mathbf {\hat J})]$$ (6.9)

ohne großen Rechenaufwand erfolgen, worin $\mathbf {C}$ die diagonalisierte Form der Matrix $\mathbf {M}$ darstellt. Die meisten der für dieses Iterationsverfahren notwendigen Terme sind ohnehin für die Diskretisierung der Differentialgleichung selbst nötig, sodaß der Mehraufwand sehr gering bleibt.

Derart erhält man mit geringem Aufwand eine genauere Approximierung des Gradienten, welche formal einer Approximierung der höheren Ableitungen der Näherungslösung entspricht [Zhu90] [Ain89]. Abb. 6.1 veranschaulicht die verbesserte Näherung durch eine stückweise lineare Approximierung einer stückweise konstanten Näherung.

Auf der Basis dieses genaueren Gradienten des Funktionsverlaufes kann nun wiederum die Differentialgleichung diskretisiert werden, indem $\nabla \mathbf {J^*}$ berechnet wird. Die Differenz $(\nabla \mathbf {J^*} - \nabla \mathbf {\hat J})$ kann dann als Maß für den Fehler aufgrund der Vernachlässigung des Restgliedes in der Diskretisierung verwendet werden.

Zur Überprüfung dieser Annahme wählen wir den Spezialfall eines eindimensionalen äquidistanten Gitters und betrachten einen Ausschnitt von fünf nebeneinander liegenden Stützstellen rund um die Stelle x₀. In erster Näherung kann in Gl. 6.9 $\mathbf {M}$ gegen $\mathbf {C}$ ersetzt werden, wodurch man eine einfache Mittelwertbildung der Gradienten erhält. Unter diesen Voraussetzungen errechnet sich die auf der Basis des stückweise linearen Gradienten ermittelte, zweite Ortsableitung der Funktion gleich wie die, auf der Basis des stückweise konstanten Gradienten ermittelte zweite Ableitung, nur mit dem Unterschied, daß die doppelte Gitterweite eingesetzt wird. Der Einfluß der zweiten und vierten Stützstelle verschwindet:

$$\frac{\Delta^2 C}{\Delta x^2} = \frac{f(x_0 - 2 \Delta x) + 2 f(x_0) + f(x_0 + 2 \Delta x)}{\Delta x^2}.$$ (6.10)

Anstatt einer genaueren Abschätzung erhält man also ungenauere Werte für die zweite Ableitung. Diese Eigenschaft bleibt auch erhalten, wenn man anstatt der vereinfachenden Mittelwertbildung Gl. 6.7 löst. Durch den globaleren Charakter der Fehlerabschätzung ist der Diskretisierungsfehler der so ermittelten Divergenz zwar größer als der Fehler der eigentlichen Diskretisierung, jedoch gilt mit guter Näherung

$$\nabla \mathbf {J^*} - \nabla \mathbf {\hat J} \simeq \nabla \mathbf {\hat J} - \nabla ( D \nabla u),$$ (6.11)

wobei die rechte Seite dem Diskretisierungsfehler der eigentlichen Diskretisierung entspricht, wenn u für die exakte Lösung steht.