3.4.3 Das reduzierte Zweiband-Transportmodell

Um das in Kap. 3.1.4 beschriebene Transportmodell in einem numerischen Simulator effizient einsetzen zu können, müssen die verwendeten Gleichungen in eine programmierbare Form gebracht werden. Speziell die Gleichungen (3.96) und (3.112) sind wegen Integralform bzw. der Verwendung der unvollständigen Gammafunktion für eine einfache Programmierung nicht geeignet.

Glücklicherweise läßt sich das Transferintegral (3.96) analytisch integrieren. Mehrfache partielle Integration liefert

Ebenso ist die unvollständige Gammafunktion (3.110) für geschlossen integrierbar.

Für Gleichung (3.112) erhält man damit

Die Funktion wird durch eine Reihenentwicklung dargestellt, da die Multiplikation von für sehr große Werte von erhebliche numerische Probleme mit sich bringt. Sehr große Werte von treten deshalb auf, weil in (3.178) als Argument von Gerfc auftritt, und für gegen strebt. Durch die hier verwendete Form

wird dieses Problem vermieden. Die Formulierung (3.181) hat einen absoluten Fehler kleiner im gesamten Wertebereich [1]. Eine Implementation der komplementären Fehlerfunktion steht in den meisten numerischen Simulationsprogrammen zur Verfügung und kann z.B. nach [11] [65] erfolgen.

Mit dem Gleichungen (3.61) - (3.64), (3.102), (3.178), (3.79), (3.111), (3.180), (3.59) und (3.60) ist die Beschreibung jetzt komplett.

Das jetzt einfach zu implementierende Modell soll nun einerseits mit experimentellen Daten und Monte-Carlo-Rechnungen, andererseits mit empirischen Modellen verglichen werden. Dazu werden die Feldabhängigkeiten der mittleren Driftgeschwindigkeit und der mittleren Elektronenenergie in Abhängigkeit von verschiedenen Parametern wie Dotierung und Gittertemperatur betrachtet.

Für die Auswertung dieses erweiterten Transportmodells wurden die folgenden physikalischen Parameter verwendet:

• Beweglichkeiten für schwaches Feld: Die maximale Beweglichkeit im -Band wurde mit angenommen. Für die Beweglichkeit im L-Band wurde der Wert gewählt. Die maximale Beweglichkeit in beiden Bändern ist dotierungsabhängig. Hier wurde für beide Bänder die Dotierungsabhängigkeit nach [31] (vgl. Kap. 3.4.1) verwendet.
• Sättigungsgeschwindigkeit: Experimente und Monte-Carlo-Rechnungen [39] zeigen, daß die Driftgeschwindigkeit der Elektronen mit steigendem Feld monoton abnimmt, da bei immer höheren Feldern weitere Bänder für den Elektronentransport Bedeutung erlangen. Hier wurde im Rahmen dieses Zweibändermodells eine Sättigungsgeschwindigkeit von angenommmen.
• Energierelaxationszeit: Die Energierelaxationszeit im -Band läßt sich durch Vergleich mit experimentellen Ergebnissen ermitteln. Hier wurde ein Wert von verwendet.
• Streuzeit im -Band: Die Streuzeit im -Band bestimmt den Wert des Feldes, bei dem die Streuung vom - ins L-Band merkbar einsetzt. Durch Vergleich mit Messungen wurde hier ein Wert von ermittelt.
• effektive Massen und Energieabstand: Für die effektiven Massen im - und im L-Band wurde und angenommen (vgl. Kap. 3.4.1). Der Energieabstand beträgt bei Raumtemperatur .

Abb. 3.15 - 3.18 zeigen die wichtigsten Merkmale des Zweibandmodells. Man kann hier den Effekt des Teilchentransfers vom - ins L-Band erkennen. Man sieht in Abb. 3.18, daß bereits bei mehr als die Hälfte aller Elektronen ins L-Band gestreut wurden. Am Verlauf der mittleren Elektronenenergie in Abb. 3.17 erkennt man auch die ``Abkühlung'' der ins L-Band gestreuten Elektronen. Auch der Energiewert des Plateaus bei ca. stimmt gut mit dem Abstand zwischen den Bändern überein. Das Zweibandmodell zeigt somit alle wichtigen Merkmale des Elektronentransports in GaAs.

  
Abbildung 3.15: Mittlere Driftgeschwindigkeiten in den zwei Bändern und effektive Driftgeschwindigkeit in Zweibandmodell

  
Abbildung 3.16: Elektronenbeweglichkeiten in den zwei Bändern und effektive Elektronenbeweglichkeit im Zweibandmodell

  
Abbildung 3.17: mittlere Elektronenenergie in den zwei Bändern und effektive Elektronenenergie im Zweibandmodell

  
Abbildung: Teilchenverhältnisse , und

Abb. 3.19 zeigt einen Vergleich des Driftgeschwindigkeitsverlaufes des Zweibandmodells sowohl mit experimentellen Daten nach Ruch [50], Houston [39] und Braslau [8], als auch mit empirischen Modellen (vgl. Kap. 3.4.2). Die experimentellen Daten zeigen durchgehend niedrigere Werte für die Sättigungsgeschwindigkeit, da die Proben immer eine gewisse Störstellenkonzentration aufweisen. In den gerechneten Kurven wurde vernachlässigbare Störstellenkonzentration angenommen.

  
Abbildung: Vergleich des Driftgeschwindigkeitsverlaufes empirischer Modelle (Hirose [33], Xu [91]) und experimenteller Daten (Braslau [8], Houston [39], Ruch [70]) mit dem Zweibandmodell

Abb. 3.20 zeigt die Feldabhängigkeit der Beweglichkeit nach den empirischen Modellen von Hirose und Xu und dem Zweibandmodell. Hier wurde wieder vernachlässigbare Störstellenkonzentration angenommen. Der hier etwas höhere Wert der maximalen Beweglichkeit wirkt sich bei der Simulation realer Bauteile nicht aus, da die Störstellenkonzentration in den aktiven Schichten im Bereich von liegt.

  
Abbildung: Vergleich der Beweglichkeit empirischer Modelle nach Hirose [33] und Xu [91] mit dem Zweibandmodell

Die Feldabhängigkeit der mittleren Elektronenenergie im Vergleich zu einer Monte-Carlo-Rechnung [87] ist in Abb. 3.21 dargestellt. Die Kurven zeigen qualitativ den gleichen Verlauf. Die beiden Kurven sind unterschiedlich skaliert, da die Kurve aus der Monte-Carlo-Rechnung nur die thermische Energie (Gesamtenergie minus kinetische Energie) darstellt, während das Zweibandmodell die Gesamtenergie liefert.

  
Abbildung: Vergleich der mittleren Elektronenenergie aus einer Monte-Carlo-Rechnung (Maloney [87]) mit dem Zweibandmodell

Die Temperaturabhängigkeit der Driftgeschwindigkeit wurde sowohl experimentell [39] als auch mit Monte-Carlo-Rechnungen [71] untersucht. Dabei wurde auch eine Temperaturabhängigkeit der Sättigungsgeschwindigkeit festgestellt. Im Zweibandmodell wurde deshalb folgende einfache lineare Temperaturabhängigkeit [7] benützt:

Die Temperaturabhängigkeit der maximalen Beweglichkeit im L-Band wurde ebenfalls mit der Potenzfunktion (3.168) angenähert. Nach [59] gilt im L-Band . Abb. 3.22 zeigt den Driftgeschwindigkeitsverlauf bei verschiedenen Temperaturen. Die Kurve für zeigt die auch aus Monte-Carlo-Rechnungen [71] erhaltene Verringerung des Anstiegs vor dem Maximum der Driftgeschwindigkeit.

  
Abbildung 3.22: Temperaturabhängigkeit der Driftgeschwindigkeit nach dem Zweibandmodell

  
Abbildung 3.23: Temperaturabhängigkeit der mittleren Energie nach dem Zweibandmodell

In Abb. 3.24 ist die Abhängigkeit der Driftgeschwindigkeit von der treibenden Kraft bei verschiedenen Dotierungen dargestellt. Als Vergleich soll die Dotierungsabängigkeit des Modells von Xu (vgl.3.4.2) dienen, die ebenfalls eine Dotierungsabhängigkeit der Sättigungsgeschwindigkeit enthält und auch mit Monte-Carlo-Rechnungen verglichen wurde (Abb. 3.25). Im Zweibandmodell wurde in beiden Bändern für die maximale Beweglichkeit die Dotierungsabhängigkeit nach Hilsum [31] verwendet. Man sieht in beiden Modellen die gleiche Abnahme der Geschwindigkeitsüberhöhung und die Verschiebung des Geschwindigkeitsmaximums in Richtung höherer Felder. Die Dotierungsabhängigkeit der Driftgeschwindigkeit ist auch im Vergleich mit anderen Monte-Carlo-Rechnungen [66] gut. Abb. 3.26 zeigt noch die Dotierungsabhängigkeit des mittleren Energie.

  
Abbildung 3.24: Einfluß der Dotierung auf die Driftgeschwindigkeit im Zweibandmodell

  
Abbildung: Einfluß der Dotierung auf die Driftgeschwindigkeit nach Xu [91]

  
Abbildung 3.26: Einfluß der Dotierung auf den Energieverlauf im Zweibandmodell