Unterabschnitte

• Randbedingungen
• Anfangsbedingung

2.4 Wärmeleitung

Für eine gekoppelte elektro-thermische Simulation muss zusätzlich zu den Gleichungen des elektrischen Systems die Wärmeleitungsgleichung gelöst werden

$$\mathop\mathrm{div}(\gamma_T\mathop\mathrm{grad}T)=c_p\rho_m\frac{\partial{T}}{\partial{t}}-p\;.$$ (2.43)

Für den zeitlich unveränderlichen Zustand gilt folgende Vereinfachung:

$$\mathop\mathrm{div}(\gamma_T\mathop\mathrm{grad}T)=-p \;.$$ (2.44)

Das Ergebnis dieser Differentialgleichungen ist die Temperatur $T$. Die Eigenschaften des Materials gehen durch die thermische Leitfähigkeit $\gamma_T$, die spezifische Wärmekapazität $c_p$ und die Dichte $\rho_m$ in die Gleichung ein. Die Wärmequellendichtefunktion $p$ entspricht der elektrischen Verlustleistung und berechnet sich aus

$$p=\gamma(\mathop\mathrm{grad}\varphi)^2\;.$$ (2.45)

Diese Gleichung stellt die Kopplung zwischen dem elektrischen und dem thermischen System dar.

Sowohl die elektrische Leitfähigkeit $\gamma$ als auch die thermische Leitfähigkeit $\gamma_T$ vieler Materialien ist temperaturabhängig; sie werden durch das folgende Modell angenähert:

$$\gamma(T)=\frac{\gamma_0}{1+\alpha(T-T_0)+\beta(T-T_0)^2}\;.$$ (2.46)

Mit $\gamma_0$ wird die (elektrische bzw. thermische) Leitfähigkeit bei einer bestimmten Referenztemperatur $T_0$ (z.B. [300]K) bezeichnet. Die Faktoren $\alpha$ und $\beta$ werden als linearer bzw. quadratischer Temperaturkoeffizient bezeichnet.

Für Metalle gilt das Wiedemann-Franz-Gesetz

$$\frac{\gamma_T}{\gamma_E}=T\cdot\textit{const} \;,$$ (2.47)

welches besagt, dass das Verhältnis aus thermischer zu elektrischer Leitfähigkeit proportional zur absoluten Temperatur ist. Deshalb können die Temperaturkoeffizienten der thermischen Leitfähigkeit von Metallen ($\alpha_T$, $\beta_T$) näherungsweise aus denen ihrer elektrischen Leitfähigkeit ($\alpha_E$, $\beta_E$) bestimmt werden:

$$\alpha_T \approx\alpha_E-\frac{1}{T_0}\;,$$ (2.48)

$$\beta_T \approx\beta_E-\frac{\alpha_E}{T_0}+\frac{1}{T_0^2}\;.$$ (2.49)

Auch die Wärmekapazität $c_p$ mancher Materialien weist eine Abhängigkeit von der Temperatur auf. Sie wird durch die Shomate-Gleichung [73]

$$c_p=A+BT+CT^2+DT^3+\frac{E}{T^2}$$ (2.50)

modelliert, wobei für $T$ die absolute Temperatur in Kelvin eingesetzt wird.

Durch die Temperaturabhängigkeiten der elektrischen und thermischen Leitfähigkeiten bekommt das Gleichungssystem einen (schwach) nichtlinearen Charakter.

Auch die Massendichte $\rho_m$ ist von der Temperatur abhängig. In dem hier verwendeten Modell bleibt diese Abhängigkeit jedoch unberücksichtigt, da sonst die Masseerhaltung nicht mehr gegeben wäre. Wollte man eine temperaturabhängige Massendichte berücksichtigen, so wäre es notwendig, zusätzlich noch die thermisch bedingte Volumsvergrößerung in einem mechanischen System zu berechnen.

Randbedingungen

Für den elektrischen Teil des Systems können Randbedingungen angegeben werden, wie sie bereits bei der Widerstandsberechnung beschrieben wurden. Für den thermischen Bereich sind folgende Ränder vorgesehen: Ein (idealer) Kühlkörper, der an einem Teil des Randes $\Gamma _i$ an das Simulationsgebiet angrenzt, mit einer konstanten Temperatur $K_i$, wird durch Dirichlet-Bedingungen modelliert:

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...ox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})=K_i\;.$$ (2.51)

Ein adiabatischer (ideal wärmeisolierender) Rand wird durch eine homogene Neumann-Bedingung dargestellt:

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...mbox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})=0\;.$$ (2.52)

Externe Wärmequellen, die eine konstante Wärmestromdichte $\Theta_i$ normal zum Rand einprägen, bedeuten eine inhomogene Neumann-Bedingung:

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...oldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})=\Theta_i\;.$$ (2.53)

Anfangsbedingung

Bei zeitlich veränderlichen Wärmeleitungsproblemen muss zusätzlich für die Temperatur eine Anfangsbedingung $T_0$ vorgegeben werden

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...{\mbox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})\;.$$ (2.54)