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4.1 Beschreibung der Volumsmodelle

 

Zur Beschreibung der Volumsmodelle für die Bauelementsimulation werden zumeist die nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bestehend aus der Poisson-Gleichung, der beiden Transportgleichungen für die Ladungsträger und der beiden Energietransportgleichungen verwendet.

Die vier Transportgleichungen können durch Modellbildung aus der quantentheoretischen Beschreibung durch die Schrödinger-Gleichung für das gesamte Elektronensystem hergeleitet werden. Werden nur die beiden Kontinuitätsgleichungen für Elektronen und Löcher berücksichtigt, ist das Ergebnis identisch mit der klassischen Drift-Diffusionsnäherung. Nachdem Quanteneffekte bei der Beschreibung der Grenzflächenmodelle berücksichtigt werden müssen, wird die der Modellbildung zugrunde liegende hierarchische Struktur der Transportmodelle erläutert.

Der Transport der Ladungsträger in Kristallstrukturen wird in der Quantentheorie durch die Schrödinger-Gleichung für nur ein Teilchen beschrieben. Der Einfluß der Kristallstruktur und der restlichen Teilchen wird in einem pauschalen gitterperiodischen Potential zusammengefaßt [18].

   figure1009
Abbildung 4.1: Hierarchie der Transportmodelle.

Für den Stromtransport im Halbleiter erweist sich eine zur Schrödinger-Gleichung gleichwertige Darstellung in Form der Wigner-Gleichung als anschaulicher. Die Wigner-Gleichung kann durch Anwendung der Weyl-Transformation auf die Schrödinger-Gleichung erhalten werden [6] (s. Abb. 4.1). Durch Anwendung der Weyl-Transformation auf die Wellenfunktion tex2html_wrap_inline8652 der Schrödinger-Gleichung wird die Verteilungsfunktion

equation1016

definiert, welche als die Wigner-Funktion bezeichnet wird [37]. Sie ist im Phasenraum tex2html_wrap_inline8654 definiert und equivalent zur Wellenfunktion tex2html_wrap_inline8656 . Wird die Weyl-Transformation auf die Schrödinger-Gleichung angewandt, ergibt sich die Wigner-Gleichung

equation1036

Die Funktion tex2html_wrap_inline8658 beschreibt die Wechselwirkung der Ladungsträger mit dem Potential tex2html_wrap_inline8660 ,

equation1055

Sind die Quanteneffekte vernachlässigbar und nimmt man weiters an, daß

  1. die Streuraten der Ladungsträger niedrig sind,
  2. sich das elektrostatische Potential örtlich und zeitlich nur schwach ändert,
  3. sich die Verteilungsfunktionen der Ladungsträger im Phasenraum nur schwach ändern,
kann die Boltzmanngleichung als semiklassische Näherung [20] aus der Wignergleichung hergeleitet werden,

  eqnarray1074

Die Indizes tex2html_wrap_inline8662 bezeichnen die Verteilungsfunktionen für Elektronen und Löcher.

Der Aufwand für die numerische Lösung der Boltzmann-Gleichung ist beträchtlich. Bleibt die zeitliche Abhängigkeit unberücksichtigt, ist tex2html_wrap_inline8664 eine skalare Funktion von 3+3 unabhängigen Veränderlichen. Wird jedes Parameterintervall mit 100 Punkten diskretisiert, erhält man tex2html_wrap_inline8670 zu berechnende Unbekannte.

Die Störungsrechnung zur Berechnung der Näherungslösungen der Boltzmanngleichung geht von der Annahme aus, daß sich das System der Ladungsträger im thermodynamischen Gleichgewicht befindet und nur einer schwachen Störung ausgesetzt ist. Man erhält damit die Näherungslösungen für die Verteilungsfunktionen [22]

    eqnarray1105

Diese Verteilungsfunktionen können auch als Ergebnis der Reihenentwicklung des unsymmetrischen Anteils einer verschobenen Maxwell-Verteilung bis zur dritten Ordnung von tex2html_wrap_inline8672 erhalten werden.

Zur Herleitung der Transportgleichungen werden nun die ersten zwei Momente der Boltzmanngleichung für das Drift-Diffusionsmodell und die ersten vier Momente für das hydrodynamische Modell berechnet.

Die ersten vier Momente der Verteilungsfunktion sind definiert als:

eqnarray1149


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