5.1 Beschreibung der Grenzflächenmodelle

  Generell wird zwischen zwei Arten von Übergängen unterschieden. Übergänge zur Umgebung bilden den Rand des Simulationsgebiets. Für diese sind die Randbedingungen der physikalischen Größen im Simulationsgebiet von Interesse. Das Verhalten der Umgebung an der Außenseite wird durch das Modell beschrieben. Übergänge im Inneren des Simulationsgebiets verbinden Teilgebiete mit unterschiedlichen Eigenschaften. Diese Grenzflächen können durch Verwendung verschiedener Materialien oder aber auch unterschiedlicher physikalischer Modelle zustande kommen. Die Beziehungen zwischen den physikalischen Größen an beiden Seiten von Grenzflächen werden durch Grenzflächenmodelle beschrieben. Sowohl im Bereich des Randes als auch im Übergangsbereich der Grenzflächen, sind die Materialeigenschaften und die physikalische Größen starken Änderungen unterworfen. Diese sind meist so kleinräumig, daß die im vorigen Abschnitt beschriebenen physikalischen Volumsmodelle ihre Gültigkeit verlieren. Zur Beschreibung des Ladungsträgertransports innerhalb der Übergangsbereiche wird daher eine quantenmechanische Darstellung mit Wahrscheinlichkeiten für Transmission und Reflexion von Ladungsträgern verwendet. Details dazu finden sich z.B. in [28]. Die mit Hilfe dieser Beschreibung gefundenen Modelle erlauben es, daß die Übergangsbereiche in einer ,,makroskopischen`` Betrachtungsweise idealisiert durch Grenzflächen ersetzt werden. Die aufwendige ,,mikroskopische`` quantenmechanische Formulierung steckt dann im Grenzflächenmodell, während in den benachbarten Gebieten wieder die Volumsmodelle verwendet werden können.

Die Differentialgleichungen für die Bauelementsimulation sind Erhaltungsgleichungen der Form

was unter Zuhilfenahme des Gaußschen Integralsatzes als Integralform

geschrieben wird. Geht man nun zur Flächendivergenz über, erhält man folgende Grenzflächenbedingung

mit der Flächenquelldichte . Das heißt, daß die Normalkomponente des Feldes entsprechend der Flächenquelldichte springt. Ist die Quelldichte Null, verläuft die Normalkomponente des Feld an der Grenzfläche stetig.

Ist ein Gradientenfeld , so wird u das Potential von genannt. Das Verhalten des Feldes und seines Potentials an einer Doppelschicht, also einer Grenzfläche auf der eine Flächendipoldichte definiert ist, kann untersucht werden. Der oben durchgeführte Grenzübergang führt dann auf einen Flächengradienten und man erhält

Das Potential einer Doppelschicht springt beim Durchgang durch die Grenzfläche um den negativen Wert der Flächendipoldichte, während die Normalkomponente des Feldes stetig verläuft.

Damit sind die Beziehungen zwischen den Potentialen und den Normalkomponenten des Feldes an beiden Seiten einer Grenzfläche definiert.

Für eine eindeutige Lösung des Feldes in einem Teilgebiet muß eine der folgenden Randbedingungen spezifiziert werden:

Dirichletsche Randbedingung:

Es wird die skalare Größe u am Rand A vorgegeben:

Neumannsche Randbedingung:

Es wird die Normalkomponente des Feldes am Rand A vorgegeben:

Cauchy'sche Randbedingung:

Es wird eine Linearkombination der skalaren Größe u und der Normalkomponente des Feldes am Rand A vorgegeben:

Dies bedeutet, daß für jede Feldgröße an einer Grenzfläche zwei Bedingungen notwendig sind und an einem Rand eine Bedingung notwendig ist.

• 5.1.1 Elektrostatische Grenzflächenbedingungen
• 5.1.2 Ladungsträgertransport über Grenzflächen