Unterabschnitte

• 4.2.1 Grundlagen
• 4.2.2 Freier Flug
• 4.2.3 Streuraten
  • 4.2.3.1 Akustische Deformationspotenzialstreuung
  • 4.2.3.2 Zwischentalstreuung
  
  
• 4.2.4 Freie Flugzeit

4.2 Monte Carlo-Methode

Einen anderen Ansatz verfolgt man in der so genannten Monte Carlo-Methode ([34]). Hier werden die Bewegungen der Ladungsträger unter der Wirkung des angelegten Feldes und der auftretenden Streuungen durch einen stochastischen Ansatz verfolgt. Die Methode ist deutlich zeitaufwendiger als die Momentenmethode, bietet jedoch die Möglichkeit, Modelle für die mikroskopischen Prozesse anzuwenden. Aus diesem Grund ist die Monte Carlo-Methode bei der Behandlung des Hochenergietransports und zur Bestimmung von Beweglichkeitsparametern weit verbreitet.

Abbildung 4.1: Flussdiagramm für ein Einteilchen-Monte Carlo-Programm.

Zwei Varianten sind bei diesem Ansatz für die Untersuchung des Ladungsträgertransports grundsätzlich möglich. Zum einen kann eine Vielzahl von Teichen gleichzeitig in Form einer Ensemble-Monte Carlo-Simulation betrachtet werden. Zum anderen kann nur ein einzelnes Teilchen über einen dementsprechend langen Zeitraum betrachtet werden. Aus dem Ergodentheorem folgt die Äquivalenz von Scharmittelwert und Zeitmittelwert. In diesem Sinne führen beide Varianten im stationären Fall zum gleichen Resultat. Im Folgenden wollen wir nun die zweite Variante anwenden.

4.2.1 Grundlagen

Die Bahn des Ladungsträgers wird semiklassisch verfolgt. Zwei Vorgänge sind für den Transport des Ladungsträgers von Bedeutung. Zum einen verhält sich das Elektron im treibenden elektrischen Feld wie ein freies Teilchen und wird in der Ebene normal zur Quantisierungsrichtung von diesem beschleunigt. Bei der Ableitung der Bewegungsgleichung wird für die Energie die Dispersionsrelation des gerade aktuellen Subbandes herangezogen. Zum anderen erfolgt nach einer noch zu definierenden freien Flugzeit eine Wechselwirkung mit den Störungen des Kristallgitters in Form einer Streuung. Nur durch eine solche Streuung kann das Elektron in einen durch ein anderes Subband oder eine andere Talsorte charakterisierten Zustand gelangen. Sowohl die Auswahl der Dauer des freien Flugs als auch die Auswahl des Streuprozesses erfolgen über Zufallszahlen. Der prinzipielle Ablauf einer Einteilchen-Monte Carlo-Simulation ist in Abbildung 4.1 dargestellt.

4.2.2 Freier Flug

Die Energie in Parallelrichtung hängt von der so genannten Bandformfunktion ab.

$${\ensuremath{{\cal E}}}\left( 1+{\ensuremath{\alpha}} {\ensuremath{{\cal E}}}\right) = {\ensuremath{\gamma}}$$ (4.3)

Für die X-Täler in Silizium sind die effektiven Massen zu berücksichtigen.

$${\ensuremath{\gamma}} = \frac{\hbar^2}{2} {\left( \frac{{k}_x^2}{m_x}+\frac{{k}_y^2}{m_y} \right)}$$ (4.4)

Um diese Anisotropie in den Formeln zu eliminieren empfiehlt sich eine Transformation nach Herring und Vogt ([18]).

$${\ensuremath{\gamma}} = \frac{\hbar^2}{2 {\ensuremath{m_{xy}}}} {\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^{*} \right)}^2$$ (4.5)

Als Abkürzung wurde hier der transformierte Wellenvektor mit einem eigenen Symbol ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^{*}$ versehen.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^{*} = {\ensurem... ... & 0 0 & \frac{\sqrt{{\ensuremath{m_{xy}}}}}{\sqrt{m_y}} \end{array} \right)$$ (4.6)

Bei den in Kapitel 2.2.1 eingeführten Talsorten wird nun mit der Transformation (4.6), entsprechend den drei Achsen, mit drei verschiedenen Talsorten gerechnet.

Abbildung 4.2: Aufstellung der effektiven Massen in den einzelnen Talsorten.

In Tabelle 4.2 sind die in den verschiedenen Talsorten verwendeten Massen angegeben.

Die zeitliche Entwicklung des transformierten Wellenvektors erhält man aus den Newton'schen Bewegungsgleichungen. Es soll in der Parallelebene ein konstantes Feld ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{E}}}}}}$ herrschen. Für den Impuls des Teilchens gilt das Newton'sche Gesetz.

$${} \hbar \frac{\partial {{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K... ...rtial t} = - {\ensuremath{e}} {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{E}}}}}}.$$ (4.7)

Multipliziert man diese Gleichung von links mit ${\ensuremath{{\bf T}_{HV}}}$, ergibt sich

$${} \frac{\partial {{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}... ...ath{\vec{\mathtt{E}}}}}} = -{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{E}}}}}}^{*}.$$ (4.8)

Für ein konstantes Feld erhält man aus Gleichung (4.8) eine einfache Zeitentwicklung des Wellenvektors .

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^{*}(t) = {\ensu... ...}^{*}_0 - {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{E}}}}}}^{*} {\ensuremath{t}}$$ (4.9)

Für die Bewegungsgleichung im Ortsraum geht man von der Gruppengeschwindigkeit

$${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{V}}}}}} = \frac{1}{\hbar} \nabla_{{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}... ...\Vert}}{\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}} \right)} \right)}$$

$$= {} \frac{\hbar {\ensuremath{{\bf T}_{HV}}}}{ m_{n}^{b}{\left( 1+... ...{\cal E}}}_\Vert}} \right)}} {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^{*}$$ (4.10)

aus. Der Nenner in (4.10) kann als Leitfähigkeits-Effektive-Masse $m_c$ definiert werden.

$$m_c = m_{n}^{b}{\left( 1+2 \alpha_{m}^{b} {\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}} \right)}$$ (4.11)

Diese Masse ist über die Energie auch von der Zeit abhängig. Im Simulator soll jedoch für jeden einzelnen freien Flug die Energie in dieser Formel als konstant angesehen werden. Einmaliges Integrieren der Gleichung (4.10) ergibt dann die zeitliche Entwicklung des Ortsvektors.

$${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}} = {\ensuremath{{\e... ...remath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{E}}}}}}^{*}}{2} {\ensuremath{t}}^2 \right)}$$ (4.12)

4.2.3 Streuraten

Abbildung 4.3: Skizze einer Streuung zwischen zwei Subbändern in verschiedenen Tälern.

Die Wechselwirkung des Elektrons mit den Gitterstörungen wird durch Streuungen berücksichtigt. Bei den Gitterschwingungen wird die Zeitabhängigkeit des Streupotenzial durch einen Ansatz mit der Kreisfrequenz $\omega$ dargestellt.

$${} V= H'({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}) \exp {\left( \pm {\imath}\: \omega \: {\ensuremath{t}} \right)}$$ (4.13)

Die Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand mit dem Wellenvektor ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}$ im Subband $m$ und Tal $a$ in den durch Wellenvektor ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}'$, Subband $n$ und Tal $b$ charakterisierten Zustand ergibt sich nach der Goldenen Regel der Quantenmechanik ([38, Kap. 16.3], [45]).

$${\ensuremath{ {\lambda} }}({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt... ...thtt{K}}}}}}' ,n,b) = \frac{2 \pi}{\hbar} \left\vert M \right\vert ^2 \delta _E$$ (4.14)

$M$ steht dabei für das Matrixelement des Störungsoperators und die Deltafunktion für die Erhaltung der Energie. Durch die Wechselwirkung kommt es zum Austausch eines Energiequants $\hbar \omega$ mit dem Gitter.

$$\delta _E = \delta \left( E\left({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\... ...uremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}' ,n,b\right) \pm \hbar \omega \right)$$ (4.15)

Setzt man das Streupotenzial aus Gleichung (4.13) in das Matrixelement ein so erhält man

$$M = {\langle n \vert} V{\vert m \rangle} = \int\limits_{V_0 } {\e... ...suremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}) d{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}.$$ (4.16)

Die vorkommende Zeitabhängigkeit ändert nur die Phase und fällt bei der Bildung der benötigten Betragsquadrate des Matrixelements weg. Der verbleibende Term wird nun in der Fourier-Darstellung behandelt.

$$H'= \sum_{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{q}}}}}} U({\ens... ...suremath{\vec{\mathtt{q}}}}}}\: {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}}$$ (4.17)

Im Falle des zweidimensionalen Elektronengases werden die Elektronen durch eine ebene Welle in Parallelrichtung und eine einhüllenden Funktionen in Quantisierungsrichtung dargestellt. Setzt man diesen Ansatz in die Berechnung der Matrixelemente ein, so ergibt sich:

$${} \vert M \vert = \int\limits_{V_0} \frac{1}{L_x L_y} {\ensuremath{\zeta}}_n (z) ^*... ...suremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}} d {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}$$

$$= \sum_{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{q}}}}}} \int\limits_... ...{\mathtt{K}}}}}}} }{L_x L_y} d {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}dz$$

$$= \sum_{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{q}}}}}}\vert U(q_z , ... ...{a,m \to b,n} }} (q_z) \: \delta_{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}$$ (4.18)

Die Deltafunktion in (4.18) verknüpft die mögliche Veränderung des Wellenvektors ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}$ und die in der Fourier-Darstellung vorkommenden Wellenvektoren ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{q}}}}}}$. Weiters müssen die so genannten Überlappungsintegrale ${\ensuremath{ G_{a,m \to b,n} }}$ berechnet werden. Sie ergeben sich durch Integration über die mit der Funktion $\exp {\left( {\imath}q_{z} z \right)}$ gewichteten einhüllenden Funktionen, die aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung erhalten wurden.

$${\ensuremath{ G_{a,m \to b,n} }} (q_{z}) = \int\limits_{-L_z/2 }^... ...suremath{\zeta}}_n (z) ^* {\ensuremath{\zeta}}_m (z) \: e^{{\imath}q_{z} z } dz$$ (4.19)

Mit den bisher erhaltenen Ergebnissen stellt sich die Streurate nun wie folgt dar.

$${\ensuremath{ {\lambda} }}({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt... ...}}},m,a \: \rightarrow \: {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}' ,n,b) = \sum\limits_{ {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{q}}}}}}} \fr... ...\ensuremath{ G_{a,m \to b,n} }} (q_z)\vert^2 \: d q_z \cdot \delta _k \delta _E$$

$$= \frac{L_z}{\hbar} \int\limits_{q_z} \vert U( {\ensuremath{{\ensur... ...rt^2 \: \vert {\ensuremath{ G_{,m \to ,n} }} (q_z)\vert^2 \: d q_z \: \delta _E$$ (4.20)

Die Parallelkomponente von ${\ensuremath{\vec{\mathtt{q}}}}$ ist auf die Differenz der Parallelkomponente des Wellenvektor vor und nach der Streuung eingeschränkt. Die Summation über die verbleibende Komponente $q_z$ wurde in eine Integration umgewandelt. Für Streupotenziale die nicht explizit von dieser Komponente abhängen kann man eine weitere Vereinfachung vornehmen. Die Überlappungsintegrale erhalten die Bedeutung von effektiven Weiten.

$$\frac{1}{{\ensuremath{ {b_{a,m \to b,n}} }}} = 2 \: \int\limits_{... ...suremath{\zeta}}_n (z) \vert^2 \: \vert{\ensuremath{\zeta}}_m (z) \vert^2 \: dz$$ (4.21)

In der Streurate kommt dann nur noch der Term aus dem Ansatz des Streupotenzials, die effektive Weite und die für die Energieerhaltung verantwortliche Deltafunktion vor.

$${\ensuremath{ {\lambda} }}({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt... ...}}}}}}' - {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}) \vert ^2 \: \delta _E$$ (4.22)

Die Streurate für den Übergang von einem Ausgangszustand im Subband $m$ im Tal $a$ in ein Subband $n$ im Tal $b$ ergibt sich durch Integrieren über alle erlaubten Parallelkomponenten des Wellenvektors im Endzustand.

$${\ensuremath{ {{\ensuremath{ {\lambda} }}_{a,m \to b,n}} }} \left({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}\right) = \frac{A}{(2\pi)^2} \int S({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{... ...vec{\mathtt{K}}}}}}' ,n,b) \: d {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}'$$ (4.23)

$$= \frac{V_0}{(2\pi )^2 \: \hbar} \int\limits_{ {\ensuremath{{\ensur... ...ert^2 \: \delta _E \: dq_z \: d {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}'$$

Unter Verwendung der effektive Weiten kann die Integration über $q_z$ ausgeführt werden.

$${\ensuremath{ {{\ensuremath{ {\lambda} }}_{a,m \to b,n}} }} ({\en... ...}}}}}) \vert^2\: \delta _E \: d {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}'$$ (4.24)

Darin bedeuten $A=L_x L_y$ und $V_0=L_x L_y L_z$ das betrachtete Volumen. Um die gesamte Streurate für einen Zustand im Tal $a$ und Subband $m$ zu erhalten, ist noch die Summe über alle Subbänder $n$ in allen möglichen Endtälern $b$ zu berechnen.

$${\ensuremath{ {\lambda} }}{\left( m,a,{\ensuremath{{\ensuremath{{... ...h{ {\lambda} }}_{m,a \to n,b}} }}({\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}})$$ (4.25)

4.2.3.1 Akustische Deformationspotenzialstreuung

Für die akustischen Phononen kann man die Dispersionsrelation der Phononen für die hier betrachteten kleinen Werte der Wellenzahl ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{q}}}}}}$ durch eine Gerade mit der Steigung ${\ensuremath{v_s}}$ annähern. Dabei ist ${\ensuremath{v_s}}$ die Schallgeschwindigkeit im Kristall. Der Streuprozess führt nicht in eine andere Talsorte und wird des weiteren in der ,,Äquipartitions-Näherung``([18]) als elastisch betrachtet. Deshalb muss im Gegensatz zu den inelastischen Phononen-Streuprozessen nicht zwischen Emission und Absorption unterschieden werden.

$${} {\ensuremath{ {\lambda} }}{\left( m,a,{\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}} \right)} = \sum_n \frac{V}{2\pi\hbar {\ensuremath{ {b_{m,a \to n,b}} }}} \in... ...elta_{\ensuremath{{\cal E}}}d{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^{*}$$

$$= \sum_n \frac{k_B T D_a^2 m_{n}^{b}} {\hbar^3 \rho v_s^2 {\ensurem... ... \right)} \sigma {\left( {\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}' \right)}$$ (4.26)

In (4.26) steht $\rho$ für die Dichte des Kristalls, $a$ für die Talsorte und $m$ für den Subbandindex des Ausgangszustands, $m_{a}^{m}$ für die effektive Masse im Subband $m$ der Talsorte $a$, $T_L$ für die Gittertemperatur und $D_A^a$ für das Deformationspotenzial. Die Energie des Endzustands,bezogen auf das Energieminimum des Endsubbands, ergibt sich aus der Differenz der Subbandenergien.

$${\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}' = {\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}+ E_{m}^{a}- E_{n}^{b}$$ (4.27)

Als Vergleich sei noch die Streurate für den nicht quantisierten Fall angegeben.

$${\ensuremath{ {\lambda} }}_{bulk}({\ensuremath{{\cal E}}}) = \fra... ...\alpha {\ensuremath{{\cal E}}}' \right)} } {\left( 1+2\alpha \epsilon' \right)}$$ (4.28)

Hier bleibt die Energie des Elektrons unverändert, ${\ensuremath{{\cal E}}}' = {\ensuremath{{\cal E}}}$.

Abbildung 4.4: Streuraten zur akustischen Deformationspotenzialstreuung.

In Abbildung 4.4 sind die nichtquantisierte akustische Deformationspotenzialstreuung und die quantisierten Streuraten für zwei unterschiedliche Talsorten aufgetragen. Für den Transport in Parallelrichtung ist nach Tabelle 2.2 wegen der verwendeten Herring-Vogt-Transformation in zwei von drei Talsorten die gleiche effektive Bewegungsmasse ${\ensuremath{m_{xy}}}$ zu verwenden.

4.2.3.2 Zwischentalstreuung

Bei diesen Streumechanismen kann die Dispersionsrelation der Phononen durch eine Konstante angenähert werden. Der Zustand nach der Streuung kann in derselben (g-Streuung) oder einer anderen Talsorte (f-Streuung) als jener des Ausgangszustandes liegen. Des weiteren sind nach [18, Appendix C] vier Streuungen zu berücksichtigen.

$${} {\ensuremath{ {\lambda} }}{\left( m,a,{\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}} \right)} = \sum_b\sum_n \frac{V}{2\pi\hbar {\ensuremath{ {b_{m,a \to n,b}} }... ...a_{a \to b} V} Z N \delta_E d{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^{*}$$

$$= \sum_b\sum_n \frac{D_{ab}^2 Z N m_{n}^{b}} {2 \hbar \rho \hbar\om... ... \right)} \sigma {\left( {\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}' \right)}$$ (4.29)

Es handelt sich nun um einen inelastischen Streuprozess. Bei der Absorption eines Phonons wird ein Energiequant $\hbar \omega_{ab}$ aufgenommen, im Falle einer Emission dieser Energiebetrag abgegeben.

$${\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}'= {\ensuremath{{\ens... ...& \mbox{Absorption} - \hbar \omega_{ab} & \mbox{Emission} \end{array} \right.$$ (4.30)

Für die Entartung ${\ensuremath{g_{v}}}=2$ der vorliegenden Talsorten muss zwischen dem Übergang in die gleiche oder eine andere Talsorte unterschieden werden. Streut das Elektron in die gleiche Talsorte, stehen nur ${\ensuremath{g_{v}}} -1$ mögliche Endtäler zur Verfügung. Dies wurde in der Streurate (4.29) durch den Parameter $Z$ berücksichtigt.

$$Z = \left\{ \begin{array}{ll} {\ensuremath{g_{v}}} -1 & \mbox{g-Streuung} {\ensuremath{g_{v}}} & \mbox{f-Streuung} \end{array} \right.$$ (4.31)

Der Parameter $N$ ergibt sich aus der Bose-Einstein-Statistik.

$$N = {\left( \exp {\left( \displaystyle \frac{\hbar \omega_{ab}}... ...egin{array}{ll} 0 & \mbox{Absorption} 1 & \mbox{Emission} \end{array} \right.$$ (4.32)

Zum Vergleich sei wieder die nicht quantisierte Streurate angegeben.

$${\ensuremath{ {\lambda} }}_{bulk}{\left( {\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}} \right)} = \sum_b \frac{D_{ab}^2 Z m^{3/2} N} {\sqrt{2}\pi \hbar^3 ... ...emath{{\cal E}}}' \right)}} {\left( 1+2\alpha {\ensuremath{{\cal E}}}' \right)}$$ (4.33)

$${\ensuremath{{\cal E}}}' = {\ensuremath{{\cal E}}}+ \left\{ \begin{array}{ll} + \hbar \o... ...on}\\ - \hbar \omega_{ab} & \mbox{Emission} \end{array}\right.$$

Abbildung 4.5: Zwischentalstreuung für ein Elektron im ersten Subband.

Abbildung 4.6: Zwischentalstreuung in verschiedenen Ausgangssubbändern.

In Abbildung 4.5 ist die nichtquantisierte Zwischentalstreuung und die quantisierten Streurate für den Übergang zwischen verschiedenen Talsorten aufgetragen. Bei den quantisierten Streuraten wurde zwischen Ausgangstal und Endtal unterschieden. Den größten Beitrag zur Gesamtstreurate liefert die Streuung zwischen zwei Tälern der gleichen Sorte. Bei den quantisierten Streuraten wird die Energie jeweils vom Eigenwert des Ausgangssubbands im Ausgangstal gemessen. Die Streuraten aus den energetisch höher gelegenen Subbändern sind höher als jene aus den tiefer gelegenen Subbändern. Dies ist in Abbildung 4.6 zu erkennen. Bei den hier gezeigten Streuraten wurde das erste, zweite und dritte Subband der Talsorte $1$ als Ausgangssubband verwendet.

4.2.4 Freie Flugzeit

Es sei ${\ensuremath{ {\lambda} }}d{\ensuremath{t}}$ die Wahrscheinlichkeit mit der ein Teilchen im Zeitintervall $d{\ensuremath{t}}$ gestreut wird. Zum Zeitpunkt ${\ensuremath{t}}= 0$ soll ein Streuereignis stattgefunden haben. Zum Zeitpunkt ${\ensuremath{t}}$ lautet dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass noch keine neue Streuung stattgefunden hat ([18])

$$P(t) = 1-\exp {\left( -\int_0^{\ensuremath{t}}{\ensuremath{ {\lambda} }}d\tau \right)}.$$ (4.34)

Aus dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung wird nun über eine Folge von gleichverteilten Zufallszahlen ${\ensuremath{{r}_{f}}}$ eine Folge von freien Flugzeiten ${\ensuremath{{{\ensuremath{t}}}_{f}}}$ aus $P({\ensuremath{{{\ensuremath{t}}}_{f}}}) = {\ensuremath{{r}_{f}}}$ ermittelt.

$${} \int_0^{\ensuremath{{{\ensuremath{t}}}_{f}}}{\ensuremath{ {\lambda} }} d{\ensuremath{t}} = - \ln {\left( {\ensuremath{{r}_{f}}} \right)}$$ (4.35)

Die Berechnung des Integrals über die Streuraten ist jedoch aufgrund der Komplexität der Streuraten aufwendig und kann durch Einführen eines Selbststreuprozesses vereinfacht werden. Dieser spezielle Streuprozess ändert den Zustand des Ladungsträgers nicht. Er dient nur dazu, den Verlauf der gesamten Streurate in eine einfache analytische Funktion zu transformieren, aus der die freie Flugzeit leichter berechnet werden kann. Dazu benötigt man eine obere Abschätzung für die gesamte Streurate wie sie in Abbildung 4.7 skizziert ist. Von den verschieden Ansätzen [18] wird hier die in [24, Kapitel 5] beschriebene Methode verwendet. Dabei wird eine lineare Begrenzungsfunktion zu den Streuraten bestimmt und über diese der Selbststreuprozess definiert. Dieser Selbststreuprozess verändert zwar den Zustand des Elektrons nicht, wird aber als zusätzlicher Streuprozess in der Monte Carlo-Methode berücksichtigt.

Abbildung 4.7: Skizze zur Definition des Selbststreuprozesses.

Die Begrenzungsfunktion der Streurate in der Form

$$\Lambda ( {\ensuremath{\gamma}},m,a ) = A_m^a {\ensuremath{\gamma}}+ B_m^a$$ (4.36)

ist pro Subband und Talsorte aus den Streuraten zu ermitteln. Die Koeffizienten $A_m^a$ werden über einen least-square Algorithmus berechnet. Als Stützstellen werden dabei all jene Energiewerte verwendet, bei denen die Streurate aufgrund eines möglichen Wechsels in ein anderes Subband einen Sprung aufweist. Um den Koeffizienten $B_m^a$ zu erhalten, wird die Gerade mit der Steigung $A_m^a$ solange verschoben, bis die Werte der Streuraten an den Stützstellen unter ihr zu liegen kommen. Somit ist sichergestellt, dass die Streurate immer kleiner ist als die Begrenzungsfunktion.

Den zeitlichen Verlauf der Begrenzungsfunktion kann man nun durch Einsetzen der Bandformfunktion und der Zeitentwicklung (4.9) des Wellenvektors ermitteln.

$$\Lambda {\left( t \right)} = A_m^a \frac{\hbar^2 \left({\ensurema... ...suremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{E}}}}}}^{*}\right)^2}{2 m_{m}^{a}} \quad t^2$$ (4.37)

Setzt man diese Funktion in (4.35) zur Bestimmung der freien Flugzeit ${\ensuremath{{{\ensuremath{t}}}_{f}}}$ ein so ergibt sich eine kubische Gleichung mit folgenden Koeffizienten.

$${\ensuremath{{{\ensuremath{t}}}_{f}}}^3 -3 T_0 {\ensuremath{{{\ensuremath{t}}}_{f}}}^2 + S {\ensuremath{{{\ensuremath{t}}}_{f}}}- T = 0$$ (4.38)

$$T_0 = \frac{{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^{*}_0 {\ensu... ...}}}^{*}}{{\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{E}}}}}}^{*} \right)}^2}$$

$$T = - \ln ({\ensuremath{{r}_{f}}}) \frac{6 m_{m}^{a}}{A \hbar^2 {\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{E}}}}}}^{*} \right)}^2}$$

$${\ensuremath{\gamma}}_0 = A_m^a\frac{\hbar^2}{2 m_{m}^{a}}{\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}^{*}_0 \right)}^2 + B_m^a$$

$$S = {\ensuremath{\gamma}}_0 \frac{6 m_{m}^{a}}{A_m^a \hbar^2 {\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{E}}}}}}^{*} \right)}^2}$$

$$p = S - 3 T_0^2$$

$$q = S T_0-2T_0^3-T$$

$$D = {\left( \frac{p}{3} \right)}^3+{\left( \frac{q}{2} \right)}^2$$

Mit diesen Koeffizienten folgt für die freie Flugzeit bei einer positiven Diskriminante D die reelle Lösung aus der Formel von Cardano ([8, Abschnitt 4.5]):

$${} t_f = T_0 + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}$$ (4.39)

Für die Anwendbarkeit der Formel (4.39) müssen die Voraussetzungen $A_m^a > 0$ und $B_m^a > 0$ erfüllt sein, damit $D>0$ gilt.

Im feldfreien Fall sind die angegebenen Koeffizienten nicht definiert. Es ergibt sich für die Lösung die einfachere Formel

$${\ensuremath{{{\ensuremath{t}}}_{f}}}= - \frac{\ln({\ensuremath{{r}_{f}}})}{{\ensuremath{\gamma}}_0}.$$ (4.40)