3.4 Hybride Methoden

Es ist möglich die Vorteile von FEM und BEM zu vereinigen, indem man die beiden Methoden kombiniert anwendet. Das Gesamtgebiet wird dazu in mehrere Teilgebiete zerlegt. Gebiete, in denen die Boundary Element Methode nicht oder nur ineffizient angewendet werden kann, weil z.B. viele verschiedenen Materialien mit nicht-planaren Grenzschichten vorkommen, Inhomogenitäten, oder Nichtlinearitäten auftreten, werden dann mit der Finite Elemente Methode diskretisiert, der Rest mit Randelementen. Die Schwierigkeit liegt dabei in der Modellierung der Grenzschichten zwischen den Simulationsgebieten. Ein Nachteil ist auch die Tatsache, dass aufgrund der Diskretisierung mit Randelementen (leicht) asymmetrische Systemmatrizen entstehen können und den Vorteil der symmetrischen Matrizen bei der FEM zunichte machen. Da diese Asymmetrie keine physikalische Ursache hat, sondern rein von der Art der Diskretisierung herrührt, wird in der Literatur häufig ein heuristische Ansatz vorgeschlagen, welcher nur den symmetrischen Anteil berücksichtigt.

Eine Anwendung der Hybridelementmethode zur Berechnung von Kapazitäten ist in [105] beschrieben.

Abbildung 3.2: Anwendung der Hybridelementmethode bei der Kapazitätsberechnung: Der Bereich innerhalb des strichliert eingezeichneten Rechtecks wird aufgrund des nicht-planaren Übergangs zwischen den beiden Dielektrika mit finiten Elementen diskretisiert, der Rest mit der Boundary Element Methode.

Eine weitere Möglichkeit, die Vorteile von volumenorientierten Methoden, wie FEM oder FDM mit denen von Randintegralverfahren (z.B. BEM) zu kombinieren, kann mit der Measured Equation of Invariance (MEI) Methode erzielt werden. Dabei verwendet man ein dreidimensionales Gitter, das die Oberfläche der Elektroden bis zu einer gewissen Dicke umgibt. Innerhalb des vergitterten Volumens wird mit einer herkömmlichen FDM- oder FEM-Diskretisierung die Systemmatrix aufgestellt. Die Kopplungen am äußeren Rand des Gitters werden mit einem Ansatz, der auf Green'schen Funktionen basiert, bestimmt. Man erhält dadurch ein Gleichungssystem, dessen Ordnung (wie bei der BEM) proportional zur Oberfläche der Elektroden ist, trotzdem aber spärlich besetzt ist (wie bei der FEM oder FDM) und deshalb effizient mit iterativen Verfahren gelöst werden kann. Der numerische Aufwand dieser Methode ist deshalb von der Berechnung der Greenschen Funktionen dominiert. In [106] wird die MEI-Methode zur dreidimensionalen Berechnung von Kapazitäten eingesetzt. Gegenüber der BEM kann hier ein Reduktion der CPU-Zeit um bis zu einem Faktor 10 erreicht werden.