4.7 Nichtlineare Probleme

Die elektrischen und thermischen Leitfähigkeiten wurden bei den obigen Berechnungen immer als konstant angenommen. Tatsächlich zeigen sie jedoch eine leichte Temperaturabhängigkeit, welche eine Nichtlinearität der Gleichungssysteme bei der (elektro-)thermischen Simulation verursacht. Da die elektrische/thermische Leitfähigkeit direkt in die Systemmatrix eingeht, bedeutet das, dass die Matrixeinträge ebenfalls von der Temperaturverteilung abhängen, die aber erst nach Lösen des Gleichungssystems bekannt ist. Es wird deshalb ein einfaches Iterationsverfahren verwendet, um die korrekte Lösung zu ermitteln. Zuerst wird eine konstante Temperaturverteilung von 300 K angenommen. Damit werden das elektrische und das thermische Gleichungssystem assembliert und gelöst. Man erhält eine neue Temperaturverteilung, die als Startwert für die nächste Iteration herangezogen wird. Als Konvergenzkriterium werden $e_1=\{\varphi\}^T\cdot[A]\cdot\{\varphi\}$ für das elektrische System ($=$ Verlustleistung) und $e_2=\{T\}^T\cdot[A]\{T\}$ für das thermische System herangezogen. Wenn von einer zur nächsten Iteration die Änderung dieser beiden Werte unter einem vorgegebenem Grenzwert liegt, kann die Iterationsschleife abgebrochen werden. Da die Nichtlinearität relativ schwach ist, konvergiert das Verfahren rasch (typischerweise 4-6 Iterationen). Es ist deshalb nicht notwendig, aufwendigere Methoden mit besserer Konvergenz, wie z.B. das Newton-Verfahren, anzuwenden.