Mesh Generation, Error Estimation, and Adaptation

The automation and coupling of a mesh generation and adaptation process driven by error estimation – considering the partial differential equations discretization technique used and the subsequent properties of the equation system – has been investigated.
A mesh with as small as possible a number of elements that captures all relevant features of the investigated geometry is desired in order to support methods for fast numerical analysis as well as an accurate description of the geometry. This in particular aids the discretization of partial differential equations used for the solution within areas on able amount of time, computer resources, and minimal manual interaction.
The technical problems we have solved in our project are mostly caused by finite numerics in the discrete scheme of computer-aided design. As a consequence algorithms based on geometrical predicates have been designed very carefully with respect to numerical issues.
From a software point of view the coupling of different software modules for modeling, generation, adaptation, and error estimation merit special consideration. This required new and more sophisticated methods of software design with special attention to robustness, orthogonality, modularity, and reusability.
The application of our approach is mostly focused on semiconductor device structures, but is not restricted to this field. Final results obtained from our meshing methodology have demonstrated with real-world examples, that the capabilities of previously used meshing techniques are now considerably surpassed.

Innerhalb dieses Forschungsprojektes wurden die Automation und Kopplung von Gittergenerierung und Gitteradaptierung untersucht. Die Automatisierung dieser Prozesse wird dabei von Fehlerabschätzungsalgorithmen gesteuert, die einerseits die zu lösende diskretisierte partielle Differentialgleichung und die Eigenschaften des Gleichungssystems berücksichtigen und andererseits die endgültige Lösung auf dem Gitter analysieren und gegebenenfalls das Gitter dahingehend anpassen, dass der jeweilige Fehler minimiert wird.
Das Ziel dieser Erzeugungs- und Adaptierungsprozesse war es, ein Gitter mit einer möglichst geringen Anzahl an Elementen zu erzeugen, welches jedoch alle wesentlichen Eigenschaften der zu untersuchenden Struktur enthält. Das Gitter muss für die Lösung der verwendeten Differentialgleichung geeignet sein und dabei die Zeit, Rechnerressourcen und die manuelle Interaktion des Benutzers minimieren.
Die zu lösenden technischen Probleme dieses Projektes lagen zum Großteil in der endlichen Abbildung der Numerik in den Bereich von Computersystemen. Die Notwendigkeit des sorgfältigen Entwurfs aller Algorithmen bezüglich geometrischer Eigenschaften ist dabei besonders hervorzuheben.
Die optimale Kopplung der einzelnen Module für Modellierung, Gittergenerierung, Fehlerabschätzung und Gitteradaptierung stellte dabei einen wesentlichen Teil dieses Projektes dar. Moderne Programmierparadigmen sowie aktuelle Programmiertechniken ermöglichten die Software-Entwicklung in Hinblick auf Robustheit, Orthogonalität, Modularität und Wiederverwendbarkeit.
Der Hauptanwendungsbereich unserer Forschung liegt im Bereich der Halbleiterbauelemente, ist aber nicht auf dieses Gebiet beschränkt. Resultate aus dieser Arbeit haben an praxisnahen Beispielen gezeigt, dass die Möglichkeiten von früheren Gittergenerierungstechniken nun weit übertroffen werden.