Die vollständige Zerlegung (oder Verfeinerung) ist durch die möglichst gute Erhaltung der Elementqualität charakterisiert und für jeden Elementtyp fest vorgegeben. Elemente die bei der vollständigen Zerlegung generiert werden, dürfen ihrerseits weiterverfeinert werden, da durch die Wahl der Zerlegung die Erhaltung der Elementqualität gesichert ist. Die Anpassungszerlegungen hingegen sind nur zur Vermeidung inkonsistenter Gitter erlaubt. Sie weisen in der Regel schlechtere Elementqualität auf und dürfen daher nicht weiter verfeinert werden.
Der Verfeinerungsalgorithmus muß sowohl die vollständige Verfeinerung als auch topologische Anpassungsverfeinerung beherrschen. Das im folgenden beschriebene Verfahren behandelt die vollständige Verfeinerung wie eine Anpassungsverfeinerung, bei der eben alle zusätzlichen Punkte vorhanden sind.
Die topologische Verfeinerung weist einige Besonderheiten auf. Während bei der vollständigen Verfeinerung genau eine Zerlegungsart existiert, ist die Art der Zerlegung bei der teilweisen Verfeinerung von der Anzahl und Lage der neuen Punkte abhängig. Abb. 7.6 zeigt diesen Sachverhalt anhand eines Dreiecks. Neben der vollständigen Verfeinerung existieren drei Zerlegungen mit einem, beziehungsweise sechs Zerlegungen mit zwei zusätzlichen Punkten. Klarerweise können die teilweisen Zerlegungen durch Permutation der jeweiligen Grundkonfiguration erzeugt werden
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Wie dem Leser bereits aufgefallen sein wird, ist die Zerlegung für die Konfiguration mit zwei neuen Punkten nicht eindeutig. Es existieren zwei topologisch unterschiedliche Möglichkeiten zur Unterteilung. Je nach der Form des zu zerlegenden Elementes entstehen nun bei der einen beziehungsweise bei der anderen Möglichkeit schlechte Elemente. Leider kann man diese Entscheidung nur topographisch fällen. Der vorliegende Algorithmus sieht nur topologische Entscheidungen vor, sodaß es in diesem Fall besser erscheint, die Zerlegungen mit zwei Punkten überhaupt auszusparen, um eventuell auftretende schlechte Elemente zu verhindern.
Es werden also bei Dreiecken keine Zerlegungen mit zwei neuen Punkten zugelassen, was dazu führt, daß nicht für jede mögliche Konfiguration neuer Punkte auch wirklich eine passende Zerlegung existieren muß. Tritt so eine Konfiguration im Laufe der Verfeinerung auf, muß die nächst feinere, existierende Zerlegung angewendet werden.