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A.1 Störungsrechnung

Zu einem Eigenwertproblem seien die Lösungen $ E_n^0$ und $ {\vert u_n^0 \rangle}$ des ungestörten Problems für den Hamilton-Operator $ {\ensuremath{\mathsf{H}}}_0$ bekannt.

$\displaystyle {\ensuremath{\mathsf{H}}}_0 {\vert u_n^0 \rangle} = E_n^0 {\vert u_n^0 \rangle}$ (A.1)

Die Lösungen $ {\vert u_n^0 \rangle}$ sollen ein vollständiges, orthonormiertes Basissystem bilden.

In der nichtentarteten Störungstheorie sucht man nun die Änderung der Eigenwerte und Eigenfunktionen die sich bei Hinzufügen einer Störung $ {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1$ ergeben.

Zweckmäßigerweise erweitert man das Problem auf einen Hamilton-Operator der Form

$\displaystyle {\ensuremath{\mathsf{H}}} = {\ensuremath{\mathsf{H}}}_0 + \lambda {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1$ (A.2)

und entwickelt die neuen Eigenwerte und Eigenfunktionen nach dem Parameter $ \lambda$:
$\displaystyle E_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_n^0 + \lambda E_n^1 + \lambda^2 E_n^2 + \dots$ (A.3)
$\displaystyle {\vert u_n \rangle}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\vert u_n^0 \rangle} + \lambda {\vert u_n^1 \rangle} + \dots$ (A.4)

Durch Einsetzen in die Eigenwertgleichung und Ordnen nach den Potenzen von $ \lambda$ erhält man die Lösungen zu den verschiedenen Ordnungen der Störungstheorie. Die fehlenden Bestimmungsgleichungen erhält man aus den Orthonormierungsbedingungen

$\displaystyle {\langle u_k \vert \vert u_n \rangle} = \delta_{k,n}$ (A.5)

Diese ergeben dann für die erste Ordnung in $ \lambda$:
$\displaystyle {}
{\ensuremath{\mathsf{H}}}_0 {\vert u_n^1 \rangle} + {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 {\vert u_n^0 \rangle}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_n^0 {\vert u_n^1 \rangle} + E_n^1 {\vert u_n^0 \rangle}$ (A.6)
$\displaystyle {}
{\langle u_k^0 \vert u_n^1 \rangle} + {\langle u_k^1 \vert u_n^0 \rangle}$ $\displaystyle =$ 0 (A.7)

Der noch unbekannte Zustand $ {\vert u_n^1 \rangle}$ kann nun in der vollständigen Basis des ungestörten Problems entwickelt werden:

$\displaystyle {\vert u_n^1 \rangle} = \sum_k a_{n,k}^1 {\vert u_k^0 \rangle}$ (A.8)

Setzt man dies in Gleichung (A.6) ein und multipliziert noch mit $ {\langle u_k^0 \vert}$ so ergibt sich eine Gleichung für den ersten Koeffizienten der Entwicklung $ a_{n,k}^1$.

$\displaystyle E_k^0 a_{n,k}^1 + {\langle u_k^0 \vert {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 \vert u_n^0 \rangle}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_n^0 a_{n,k}^1 + E_n^1 \delta_{k,n}$ (A.9)

Aus der Gleichung (A.7) folgt noch die Bedingung das der Realteil von $ a_{n,n}^1$ verschwinden muss. Insgesamt kann man also die Eigenfunktionen aus der Störungsrechnung erster Ordnung als

$\displaystyle {\vert u_n^1 \rangle} = \sum_{k \ne n} \frac{{\langle u_k^0 \vert {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 \vert u_n^0 \rangle}}{E_n^0 - E_k^0}$ (A.10)

angeben. Für die Energie folgt dann:
$\displaystyle E_n^1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\langle u_n^0 \vert {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 \vert u_n^0 \rangle}$ (A.11)
$\displaystyle E_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{m\ne n}
\frac{\left\vert {\langle u_m^0 \vert {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 \vert u_n^0 \rangle} \right\vert^2}
{E_n^0-E_m^0}.$ (A.12)


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