Vorkonditionierer
Eine unvollständige 
Zerlegung von 
kann als effizienter Vorkonditionierer für symmetrische
Matrizen verwendet werden [van89].
Man versteht darunter eine partielle Cholesky-Zerlegung,
bei der jedes Auffüllen von Nebendiagonalelementen unterdrückt wird. Im Zusammenhang
mit CG-Lösern gehört die Methode zur Klasse der ICCG
(Incomplete Cholesky Conjugate Gradient)-Löser. Da kein Auffüllen der Nebendiagonalelemente
erlaubt ist, spricht man von einem ICCG(0) Löser.
Eine vollständige symmetrische Faktorisierung einer Matrix kann immer nur dann erfolgen,
wenn die Matrix symmetrisch, positiv definit und eine M-Matrix ist.
Die genannten Vorbedingungen gelten ebenso für eine unvollständige Zerlegung von
[van89][Mei77][Man79].
Die Vorkonditionierungsmatrix wird aus 
in der
heuristischen Form
angesetzt.
Unter der Forderung, daß die Matrix möglichst genau approximiert wird, wobei nur die
Diagonalmatrix 
variiert und 
bzw. 
unverändert bleiben,
ergibt sich folgende Rechnung:
Die Rekursion
welche die unvollständige Cholesky-Faktorisierung beschreibt, ist in Komponentenschreibweise ohne Berücksichtigung komprimierter Matrixformate z.B. als
anzuschreiben.
Es ist natürlich effizienter, gleich 
zu berechnen
und dazu die Rekursion mit 
in die Form
zu bringen.
Als Ergebnis erhält man die invertierte Diagonalmatrix , die im
Vektor zurückgegeben wird.
Das zu lösende System 
wird zunächst in seiner
vorkonditionierten Form
angeschrieben. Für die weitere Rechnung ist es vorteilhaft, mit 
symmetrisch
zu skalieren.
Der vorkonditionierte CG-Löser kann daher auf der neuen Struktur
operieren.
In Abschnitt 4.5.4 wird erwähnt, daß es nicht notwendig ist, den Ausdruck
direkt zu bilden, sondern durch eine Matrix-Vektor-Multiplikation, eine Rücksubstitution und eine Vorwärtselimination
zu ersetzen. In [Eis81] wird gezeigt, daß sich der Aufwand stark reduziert, wenn folgende Identitäten ausgenützt werden:
Bei dieser als Eisenstat-Trick bekannten Methode wird die
Multiplikation 
durch eine Vorwärtselimination,
eine Vektormultiplikation und eine Rücksubstitution in der Art
ersetzt.
Die Vorwärtselimination (4.71) kann auch für die Berechnung von
herangezogen werden.
Eine unwesentliche, aber einfach zu implementierende Verbesserung des Algorithmus erhält man dadurch, daß
man nicht 
, sondern 
abspeichert.
Es ist auch anzumerken, daß man während der Iteration mit
arbeiten kann und nach der Iteration die Lösung
rückskaliert und rücksubstituiert.
