4.1 Beschreibung linearer dynamischer Zweipole

Durch die Reduzierung der Anschlüsse des Bauteils auf zwei, ergeben sich folgende Vereinfachungen:

• Der Spannungsvektor besteht nur aus einem einzigen Element, der Potentialdifferenz zwischen den beiden Anschlüssen. Der Bezugsanschluß wird bei Zweipolen als ``negativer'' Anschluß, der andere als ``positiver'' Anschluß bezeichnet. Dadurch wird eine Zählpfeilrichtung für die Spannung definiert.

• Der Stromvektor besteht aus zwei entgegengesetzt gleichen Elementen. Es reicht daher vollkommen aus, nur einen Strom für den Zweipol anzugeben. Es muß jedoch eine Zählpfeilrichtung für Ströme eingeführt werden. Der Strom, der in den ``positiven'' Anschluß hinein fließt wird positiv genommen. Durch diese Zählpfeilrichtung, die mit der Zählpfeilrichtung der Spannung übereinstimmt, haben die entsprechenden Bauteileigenschaften (R, L, C, etc.) einen positiven Wert. Üblicherweise wird daher eine derartige Zählpfeilrichtung für Ströme und Spannungen gewählt.
• Wie der Stromvektor besteht der Ladungsvektor aus zwei entgegengesetzt gleichen Werten. Es reicht daher auch hier die Angabe eines Wertes aus, wobei folgende Zählpfeilrichtung definiert wird. Die Ladungen, die sich auf der Elektrode befinden, die dem ``positiven'' Anschluß zugeordnet ist, wird positiv gezählt und repräsentiert gleichzeitig den negativen Wert der Ladung auf der anderen Elektrode.
• Der Flußvektor besteht analog zum Spannungsvektor aus nur einem Element. Die Zählpfeilrichtung ist so gewählt, daß die positive Flußrichtung vom ``positiven'' zum ``negativen'' Anschluß gerichtet ist.

• Die Zählpfeilrichtungen für und sind so gewählt, daß für passive Bauteile die gespeicherte Energie und die elektrisch verbrauchte Leistung als positives Produkt der entsprechenden Größen ermittelt werden kann. Dieses Zählpfeilsystem wird Verbraucherzählpfeilsystem    genannt, da es bei Bauteilen, die elektrische Energie in eine andere Energieform (Wärme, Kraft, etc.) umwandeln, zu positiven Energiewerten führt.

Durch die oben angeführten Vereinfachungen kann ein Zweipol nun mit

beschrieben werden. Es treten keine Vektoren mehr auf. stellt die charakteristische Funktionenmenge für die Temperatur T des Bauelements dar.

Ein Bauteil ist linear, wenn 4.1 ein Gleichungssystem mit linearen Operatoren (algebraisch oder differentiell) ist. Der Rang des Gleichungssystems kann maximal 4 sein.

Das volle Gleichungssystem hat somit folgendes Aussehen:

Die Faktoren stellen die Quellen dar. Die können bei einem linearen dynamischen Bauteil folgende lineare Operatoren und deren Verknüpfungen durch Addition, Subtraktion oder Multiplikation sein:

Je nach den verknüpften und haben die entsprechende Dimensionen.

In Matrixschreibweise hat das Gleichungssystem 4.2 folgendes Aussehen ( ist eine Operatormatrix):

Falls das Gleichungssystem 4.3 keine Lösung besitzt, so existiert dieser Zweipol nicht. Es sind daher nicht sämtliche Kombinationen von für existierende Zweipole erlaubt. Kriterien für die Existenz sind z.B. in [30][29] zu finden.

Die Existenz eines Operators bedeutet, daß die Größe durch die Größe gesteuert wird. Z.B. bedeutet , daß mittels des Operators , dem ohmschen Widerstand, eine Spannung in Abhängigkeit vom Strom eingeprägt wird. Dies bedeutet jedoch in der Regel nicht, daß mittels des Operators die Größe durch gesteuert wird, da nicht gefordert ist, daß der inverse Operator zu existiert (z.B. ist für nicht definiert).

In der Gleichung

bedeutet die Steuerung eines Teils der Spannung durch den Strom . Ein Rückschluß von auf ist in trivialer Weise nicht möglich.

Falls eine Zeile des Gleichungssystems 4.3 ``existiert'', muß zumindestens das Element ungleich dem 0-Operator und ungleich 0 für alle möglichen Fälle sein. Der Operator stellt eine gemeinsame Skalierung der Abhängigkeit der Größe von den anderen Größen dar. Ohne Skalierung ist der Operator . Im folgenden werden ohne Einschränkung der Allgemeinheit für immer nur die Operatoren und verwendet.

Ist der Rang der Matrix (siehe Gleichung 4.6) gleich der Anzahl der , für die es mindestens ein ungleich dem 0-Operator gibt, so ist dieses Bauteil von außen nicht beeinflußbar, es stellt eine Quelle dar. In diesem Fall ist es auch möglich, daß das Gleichungssystem 4.3 überhaupt keine Lösung hat, das Bauteil also nicht existiert. Die Matrix darf keine voneinander linear abhängigen Zeilen besitzen.

Die in einem elektrischen Grundbauteil auftretenden konkreten Operatoren für die sind in Tabelle 4.1 zusammengefaßt (die Bezeichnungen stammen aus den ISO-Normen 31 und 1000, die Symbole und sind dem ANSI/IEEE Standard 280 entnommen [62]).

  
Abbildung 4.1: Operatoren zur Beschreibung eines Bauteils

Die Operatormatrix hat daher maximal folgendes Aussehen:

Eine physikalische Realisierung eines Bauteils mit einer vollen Matrix ist nicht vorstellbar. Für die meisten verwendeten idealen Bauteile sind fast alle Elemente der Matrix gleich dem 0-Operator.

Die Operatormatrix kann in Form eines bewerteten gerichteten Graphen [44][28] dargestellt werden.

  
Abbildung 4.2: Charakteristischer Graph eines Bauelements

Abbildung 4.2 zeigt eine solche Darstellung für eine volle Matrix. Die Knoten des Graphen sind die physikalischen Größen, die den Zustand des Bauteils beschreiben. Die Kanten des Graphen geben die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen an, der Wert der Kante gibt die Art und Größe der Abhängigkeit an. Eine Kante von der Größe zur Größe existiert genau dann, wenn der Operator ungleich dem 0-Operator ist. Die Operatoren (Schleifen für den Knoten x) sind nicht eingezeichnet.

Enthält eine Zeile der Matrix (4.5) mehr als ein Element () ungleich , kann dies als Parallelschaltung bei den -Zeilen oder als Serienschaltung bei den Zeilen von 1 bis maximal 4 Grundeigenschaften aufgefaßt werden.

Durch Interpretation der Einheitsquellen als Inhomogenitäten der Matrix (4.5) gelangt man zu dem inhomogenen Gleichungssystem

mit