4.1 Beschreibung linearer dynamischer Zweipole



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4.1 Beschreibung linearer dynamischer Zweipole

 

Durch die Reduzierung der Anschlüsse des Bauteils auf zwei, ergeben sich folgende Vereinfachungen:

Durch die oben angeführten Vereinfachungen kann ein Zweipol nun mit

 

beschrieben werden. Es treten keine Vektoren mehr auf. stellt die charakteristische Funktionenmenge für die Temperatur T des Bauelements dar.

Ein Bauteil ist linear, wenn 4.1 ein Gleichungssystem mit linearen Operatoren (algebraisch oder differentiell) ist. Der Rang des Gleichungssystems kann maximal 4 sein.

Das volle Gleichungssystem hat somit folgendes Aussehen:

 

Die Faktoren stellen die Quellen dar. Die können bei einem linearen dynamischen Bauteil folgende lineare Operatoren und deren Verknüpfungen durch Addition, Subtraktion oder Multiplikation sein:

Je nach den verknüpften und haben die entsprechende Dimensionen.

In Matrixschreibweise hat das Gleichungssystem 4.2 folgendes Aussehen ( ist eine Operatormatrix):

 

Falls das Gleichungssystem 4.3 keine Lösung besitzt, so existiert dieser Zweipol nicht. Es sind daher nicht sämtliche Kombinationen von für existierende Zweipole erlaubt. Kriterien für die Existenz sind z.B. in [30][29] zu finden.

Die Existenz eines Operators bedeutet, daß die Größe durch die Größe gesteuert wird. Z.B. bedeutet , daß mittels des Operators , dem ohmschen Widerstand, eine Spannung in Abhängigkeit vom Strom eingeprägt wird. Dies bedeutet jedoch in der Regel nicht, daß mittels des Operators die Größe durch gesteuert wird, da nicht gefordert ist, daß der inverse Operator zu existiert (z.B. ist für nicht definiert).

In der Gleichung

bedeutet die Steuerung eines Teils der Spannung durch den Strom . Ein Rückschluß von auf ist in trivialer Weise nicht möglich.

Falls eine Zeile des Gleichungssystems 4.3 ``existiert'', muß zumindestens das Element ungleich dem 0-Operator und ungleich 0 für alle möglichen Fälle sein. Der Operator stellt eine gemeinsame Skalierung der Abhängigkeit der Größe von den anderen Größen dar. Ohne Skalierung ist der Operator . Im folgenden werden ohne Einschränkung der Allgemeinheit für immer nur die Operatoren und verwendet.

Ist der Rang der Matrix (siehe Gleichung 4.6) gleich der Anzahl der , für die es mindestens ein ungleich dem 0-Operator gibt, so ist dieses Bauteil von außen nicht beeinflußbar, es stellt eine Quelle dar. In diesem Fall ist es auch möglich, daß das Gleichungssystem 4.3 überhaupt keine Lösung hat, das Bauteil also nicht existiert. Die Matrix darf keine voneinander linear abhängigen Zeilen besitzen.

Die in einem elektrischen Grundbauteil auftretenden konkreten Operatoren für die sind in Tabelle 4.1 zusammengefaßt (die Bezeichnungen stammen aus den ISO-Normen 31 und 1000, die Symbole und sind dem ANSI/IEEE Standard 280 entnommen [62]).

  
Abbildung 4.1: Operatoren zur Beschreibung eines Bauteils

Die Operatormatrix hat daher maximal folgendes Aussehen:

 

Eine physikalische Realisierung eines Bauteils mit einer vollen Matrix ist nicht vorstellbar. Für die meisten verwendeten idealen Bauteile sind fast alle Elemente der Matrix gleich dem 0-Operator.

Die Operatormatrix kann in Form eines bewerteten gerichteten Graphen [44][28] dargestellt werden.

  
Abbildung 4.2: Charakteristischer Graph eines Bauelements

Abbildung 4.2 zeigt eine solche Darstellung für eine volle Matrix. Die Knoten des Graphen sind die physikalischen Größen, die den Zustand des Bauteils beschreiben. Die Kanten des Graphen geben die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen an, der Wert der Kante gibt die Art und Größe der Abhängigkeit an. Eine Kante von der Größe zur Größe existiert genau dann, wenn der Operator ungleich dem 0-Operator ist. Die Operatoren (Schleifen für den Knoten x) sind nicht eingezeichnet.

Enthält eine Zeile der Matrix (4.5) mehr als ein Element () ungleich , kann dies als Parallelschaltung bei den -Zeilen oder als Serienschaltung bei den Zeilen von 1 bis maximal 4 Grundeigenschaften aufgefaßt werden.

Durch Interpretation der Einheitsquellen als Inhomogenitäten der Matrix (4.5) gelangt man zu dem inhomogenen Gleichungssystem

 

mit



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Martin Stiftinger
Fri Jun 9 19:49:39 MET DST 1995