5.3 Numerische Stabilität der Diskretisierungsformel



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5.3 Numerische Stabilität der Diskretisierungsformel

Die Matrix aus (5.14) setzt sich aus einer Summe von Teilmatrizen für die einzelnen Nachbarn zusammen:

 

Der Vorfaktor dieser Teilmatrix ist immer positiv, und die Determinante der symmetrischen Teilmatrix

 

ist Null. Die Hauptdiagonalen der Teilmatrix sind ebenfalls positiv. Man kann zeigen, daß die Summe zweier symmetrischer Teilmatrizen mit positiver Hauptdiagonale, deren Determinante nichtnegativ ist, wieder eine symmetrische Matrix mit positiver Hauptdiagonale ergibt, deren Determinante nichtnegativ und größer oder gleich der Summe der beiden Einzeldeterminanten ist.

Wenn auch nur zwei der Teilmatrizen nicht linear abhängig sind, ist die Gesamtdeterminante positiv.

Das bedeutet, daß die Matrix nur dann singulär werden kann, wenn alle Nachbarpunkte in derselben Richtung liegen, also auf einer Geraden durch den Boxkontrollpunkt. Dieser Fall sollte bei zweidimensionalen Diskretisierungen nie auftreten; wenn aus bestimmten Gründen aber doch nur Komponenten in eine bestimmte Richtung vorliegen, so hat die Gesamtmatrix eine Struktur wie die Teilmatrix (5.18). Man kann die Matrix (5.18) für die Richtung des Vektors invertieren, indem man

 

bildet, sie also einfach mit einem Vorfaktor skaliert. Diese Matrix ,,invertiert`` die Komponente des Feldes in Richtung des Vektors dann korrekt; Komponenten des Feldes in andere Richtungen werden unterdrückt. Die unbekannte (weil unbestimmbare) Komponente von , die auf orthogonal steht, wird also zu Null gesetzt.

Die Formel (5.13) funktioniert auch dann zufriedenstellend, wenn einzelne Beiträge der geschlossenen Hülle um die Box fehlen. So ist zum Beispiel bei NEUMANN-Rändern (im Bild 5.2 mit einer rechteckigen Box dargestellt), eigentlich noch ein imaginärer Nachbarpunkt vorhanden, der die am Rand gespiegelte Box kontrolliert. Dieser Nachbar liefert zwar keinen Beitrag zu der Summation in (5.13), weil kein Feld über den NEUMANN-Rand tritt, er liefert aber einen Beitrag zur Matrix . Dieser Beitrag ist theoretisch unendlich groß, da die Distanz zum Nachbarn 0 ist. In der Praxis könnte man einen sehr kleinen Abstand zum Nachbarn verwenden; das Feld normal zum Rand würde dann etwa mit dem Reziprokwert dieses Abstands unterdrückt.

Um den NEUMANN-Rand exakt zu behandeln, kann man auf die Behandlung dieses imaginären Nachbarpunkts bei der Summation verzichten, muß dann aber statt der Gleichung (5.13) die modifizierte Form

 

lösen, wobei der Normalvektor auf den NEUMANN-Rand ist. Das bewirkt eine Unterdrückung der Komponente in die Richtung von .

Auf eine Implementierung der Formel 5.20 wurde jedoch verzichtet, da das Normalfeld auch an der zum NEUMANN-Rand parallelen Boxgrenze noch genügend klein ist und für die Beweglichkeit ohnehin nur ein repräsentativer Boxmittelwert, nicht aber der exakte Wert am Kontrollpunkt nötig ist. Die Formel liefert dann für das Normalfeld die Komponente, die das Feld an der dem Rand gegenüberliegenden Boxgrenze hat (im Bild ).

 

Eine ähnliche Situation liegt an Heteroübergängen vor (Bild 5.3); dort ist dazu noch das Feld über den Übergang nur implizit berechenbar. Auch in diesem Fall wird bei der Summation der Beitrag des Felds über den Übergang weggelassen, wodurch die Formel (5.13) automatisch das Feld an der dem Übergang gegenüberliegenden Boxgrenzfläche ergibt. Dieses ist ein genügend guter Schätzwert; keinesfalls dürfte man jedoch Werte von der gegenüberliegenden Seite des Übergangs zur Diskretisierung heranziehen, weil das Feld am Übergang durch Unstetigkeiten in der Permeabilität springen kann.

 



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Martin Stiftinger
Fri Oct 21 18:22:52 MET 1994