6.5.5 Generalisierte Vorgangsweise

Aus den letzten Überlegungen läßt sich eine allgemeingültige Vorgangsweise gewinnen, die nicht nur für Heteroübergänge, sondern auch für Ohmsche Kontakte geeignet ist. An der impliziten Behandlung fällt auf, daß man zwei durchaus verschiedenartige Gleichungen erhält, die man willkürlich den beiden Boxen zuordnen kann. Es werden nicht beide Gleichungen gleich diagonaldominant sein, und daher ist es meistens nicht günstig, die Lösung beider Gleichungen einem iterativen Löser zu überlassen. Eine der beiden Gleichungen wird also (wie beschrieben) aus dem Gleichungssystem eliminiert, und mit ihr die dazugehörige Variable.

Die Vorgangsweise ist unsymmetrisch, da man willkürlich eine der beiden Gleichungen wählen muß, wenn auch das Ergebnis in der Kondition und der Struktur der Systemmatrix nur geringe (bei der Poisson-Gleichung beispielsweise gar keine) Unterschiede zeigt. Die zur Elimination gewählte Variable verschwindet dann aus dem Gleichungssystem.

Das folgende allgemeine Schema kann man auch bei Ohmschen Kontakten, also bei DIRICHLET-Randbedingungen mit Kontaktstromintegration, einhalten:

1. Wahl der Variablen, die eliminiert werden soll. Im weiteren wird sie als bezeichnet. In einigen Fällen von Randbedingungen wird es notwendig sein, eine der beiden Variablen zu bevorzugen; bei den hier besprochenen Formeln für Materialübergänge kann die Wahl nach zufälligen Kriterien erfolgen.
2. Weiterleiten der Kontrollfunktion dieser Variablen zur Box einer gegenüberliegenden Variablen . Dadurch entsteht eine Gleichung für die Gesamtkontrollfunktion der Variablen , also für die Gesamtbox:

    

3. In der Box (der eigenen Box):
   Abschwächen der Kontrollfunktion der eigenen (der zu eliminierenden) Variablen. Für den Fall, daß kein expliziter Fluß gegeben ist, wird mit dem Faktor 0 multipliziert (das heißt, die eigene Kontrollfunktion verschwindet gänzlich aus der eigenen Gleichung). Für den Fall eines explizit gegebenen Flusses der Form ähnlich (6.29) kann man mit abschwächen, um die Gleichungskoeffizienten der resultierenden Gleichung in die Größenordnung 1 zu bringen, oder man kann mit dem Faktor 1, also gar nicht, abschwächen, und das Problem dem Gleichungsskalierer überlassen.
4. In der Box (der eigenen Box):
   Addieren der Ersatzgleichung (wenn kein expliziter Fluß gegeben ist) oder Addieren des ebenfalls abgeschwächten Flusses zur abgeschwächten Kontrollfunktion. Das Ergebnis ist die Boxgleichung, mit der die eigene Variable aus dem System eliminiert wird.

   Diese lautet bei explizit gegebenem Fluß , wenn zum Beispiel mit dem Faktor abgeschwächt wurde,

    

   Wenn dagegen der Fluß nicht explizit gegeben ist, ist die Boxgleichung einfach die reine Ersatzgleichung, da die eigene Kontrollfunktion mit dem Faktor 0 ausgelöscht wurde. Im Fall der Poisson-Gleichung lautet die Boxgleichung also einfach

    

   Allgemein läßt sich dieser Punkt als das Addieren von Zusatztermen zur eigenen Gleichung interpretieren.

5. Elimination der eigenen Variablen mit der Boxgleichung aus dem Gesamtsystem.

Diesem allgemeinen Schema entsprechen die folgenden Methoden bei der Assemblierung des Gleichungssystems (siehe Kapitel 8, in dem die Zeilentransformation vorgestellt wird):

1. Setzen eines Flags für die zu eliminierende Variable.
2. Definition einer entsprechenden Zeilentransformation zum Weiterleiten der Kontrollfunktion.
3. Das Abschwächen ist ebenfalls durch die Zeilentransformation beschrieben.
4. Addition von Gleichungsbeiträgen, die die Zeilentransformation nicht durchlaufen.
5. Die Elimination wird vom Gleichungsassembler automatisch durchgeführt, da die entsprechende Gleichung zur Elimination markiert wurde.