C Ableitung der hydrodynamischen Beweglichkeit  

 

Die materialabhängige Beweglichkeit der Ladungsträger ist eine der wesentlichsten Größen in der Halbleitersimulation. Sie ist durch Messungen relativ leicht zu ermitteln, bzw. kann sie aus der Monte-Carlo Rechnung bestimmt werden. Die wesentlichen Größen, die Einfluß auf die Beweglichkeit haben, sind Gittertemperatur, Dopadenkonzentration, der Abstand von der Oberfläche, der die Beweglichkeit durch Oberflächenstreuung mindert, sowie der Einfluß der treibenden Kraft auf die Ladungsträger. Von dieser Kraft hängen die Streumechanismen der Ladungsträger mit den Gitteratomen bzw. mit den Trägersystemen ab. Durch die treibende Kraft erhalten die Ladungsträger kinetische Energie, die im hydrodynamischen Modell die Trägertemperatur bestimmt. Die meisten Halbleiter verhalten sich so, daß bei hohen Trägertemperaturen bzw. hohen treibenden Kräften die mittlere Teilchengeschwindigkeit sättigt [60]. Es kann sogar der Effekt auftreten, daß die Teilchengeschwindigkeit bei zunehmender treibender Kraft wieder abnimmt [39]. Diesen Effekt nützen Laufzeitdioden aus, die verwendet werden, um Mikrowellensignale zu erzeugen [11,64].

Die in MINIMOS-NT implementierten Drift-Diffusionsbeweglichkeitsmodelle für Silizium haben die in [19] beschriebene Form. Beim Übergang vom Drift-Diffusionsmodell zum hydrodynamischen Modell macht man folgenden Ansatz

$$\begin{eqnarray} \mu_{DD}(T_L,\vec{E})\to\mu_{HD}(T_L,T_c)=\frac{\mu(T_L)}{1+\alpha(T_c-T_L)}\; . \end{eqnarray}$$ (11.1)

Nimmt man die Bandkanten, den Dotierungsverlauf und die Feldstärke als homogen an, vernachlässigt man Rekombination/Generation, so gilt in (2.62) $\mathrm{div}\, \vec{S}=0$, und man kann (2.62) für Elektronen anschreiben als

$$\begin{eqnarray} \vec{E}\cdot\vec{J}=\frac{3}{2}\cdot k_B\cdot n\cdot\frac{T_n-T_L}{\tau_{w}}\; . \end{eqnarray}$$ (11.2)

Mit der Stromrelation

$$\begin{eqnarray} \vec{J}=n\cdot\mu\cdot q\cdot\vec{E} \end{eqnarray}$$ (11.3)

erhält man mit (C.2)

$$\begin{eqnarray} T_n-T_L=\frac{2}{3}\cdot\frac{\tau_{wn}\cdot\mu\cdot q \cdot\vec{E}^2}{k_B}\; . \end{eqnarray}$$ (11.4)

Aus dem Drift-Diffusionsmodell ergibt sich für große Felder die Sättigungsgeschwindigkeit $\vec{v}_{sat}$

$$\begin{eqnarray} \lim{\vec{E}\to\infty} \qquad \mu\cdot\vec{E}=\vec{v}_{sat}\; . \end{eqnarray}$$ (11.5)

Gleichung(C.4) wird damit zu

$$\begin{eqnarray} T_n-T_L=\frac{2}{3}\cdot\frac{q\cdot\tau_{wn}\cdot\vec{v}_{sat}\cdot\vec{E}}{k_B}\; . \end{eqnarray}$$ (11.6)

Setzt man das Ergebnis in (C.1) ein, so erhält man

$$\begin{eqnarray} \mu=\frac{\mu(T_L)}{1+\displaystyle{\alpha\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{q\cdot \tau_{wn}\cdot\vec{v}_{sat}\cdot\vec{E}}{k_B}}}\; . \end{eqnarray}$$ (11.7)

Multipliziert man (C.7) mit $\vec{E}$ und bildet den Grenzwert $\lim{\vec{E}\to\infty}$, so folgt

$$\begin{eqnarray} \vec{v}_{sat}=\frac{\mu(T_L)}{\displaystyle{\alpha\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{\tau_{wn}\cdot q\cdot\vec{v}_{sat}}{k_B}}}\; . \end{eqnarray}$$ (11.8)

Löst man (C.8) nach $\alpha$ auf und setzt das Ergebnis in (C.1) ein, so erhält man die trägertemperaturabhängige Beweglichkeit, wie sie in MINIMOS-NT implementiert ist

$$\begin{eqnarray} \mu_{HD}(T_L,T_c)=\frac{\mu(T_L)}{1+\alpha(T_c-T_L)}\quad \math... ...\frac{k_B\cdot\mu(T_L)}{\tau_{wc}\cdot\vec{v}_{sat}^2\cdot q}\; . \end{eqnarray}$$ (11.9)