4.1 Allgemeine Betrachtungen



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4.1 Allgemeine Betrachtungen

Eine erste Schwierigkeit in Bezug auf die numerische Lösbarkeit ergibt sich aus der hohen Dimension des Phasenraumes. Im stationären Fall besitzt der (k,r) Raum 6 Dimensionen, beschränkt man sich auf 2 dimensionale Simulationsgebiete, bleibt immer noch ein 5 dimensionaler Raum , den es zu diskretisieren gilt. Beschränkt man sich auf ein eindimensionales Gebiet, so besitzt die Verteilungsfunktion Zylindersymmetrie, und man kommt mit 3 Dimensionen aus. Es soll hinzugefügt werden, daß Reduktion der Dimension des Problems die Anzahl der praktisch anwendbaren Lösungsverfahren vergrößert. Am einfachsten ist natürlich eine örtlich homogene Situation zu behandeln, für deren Beschreibung 2 unabhängige Variablen ausreichen .

Neben der hohen Dimension des Problems erkennt man eine zweite Schwierigkeit, wenn man das Streuintegral

betrachtet. Durch Vergleich erkennt man, daß die beiden Operatoren und definiert sind als

beschreibt die von allen erlaubten Zuständen in den Zustand hineingestreuten Teilchen. Da es sich dabei um einen Integraloperator handelt, muß zur Auswertung dieses Terms die gesamte Verteilungsfunktion bekannt sein. Interpretiert man die Boltzmanngleichung als Kontinuitätsgleichung, so bildet dieser Term eine Quelle im -Raum.

Der Operator zur Beschreibung der aus dem Zustand hinausgestreuten Teilchen ist ein einfacher Multiplikationsoperator, der die Multiplikation mit der totale Streurate erfordert. geht mit negativem Vorzeichen ein und kann somit als Senke interpretiert werden.

Die Diskretisierung eines Integraloperators führt zu einer voll besetzten Koeffizientenmatrix, anders als bei der Diskretisierung eines Differentialoperators. Der Wert der Verteilungsfunktion an einem Punkt hängt von den Werten an allen anderen -Punkten ab und nicht mehr nur von den nächsten Nachbarn, wie es bei Differentialgleichungen der Fall ist. Eine diskrete Lösung der Boltzmanngleichung scheidet daher für zweidimensionale Probleme auf Grund des enormen Speicherbedarfes aus. Für konstantes Feld hingegen ist dieser direkte Lösungsweg gangbar [45]. Auch eine Erweiterung für eindimensionale Probleme dürfte auf Grund der oben angestellten Betrachtungen über die Anzahl der unabhängigen Variablen realistisch sein.

Die Schwierigkeiten, die der Integraloperator mit sich bringt, werden in der Relaxationszeitnäherung umgangen. Der Ansatz

 

bewirkt, daß etwa unter homogenen Bedingungen eine Störung des Elektronensystems in der Zeit exponentiell abklingt

Dieser Ansatz ist aber nur dann hinreichend genau, wenn das elektrische Feld klein ist und die Streuprozesse entweder elastisch oder isotrop sind [64]. Nachdem in hochminiaturisierten Bauelementen gerade extremer Nichtgleichgewichtstransport vorherrscht, erscheint diese Näherung für die Modellierung doch als zu grob.

Eine gewisse historische Bedeutung hat der Ansatz einer verschobenen Maxwell-Verteilung erlangt. Es konnten damit viele Effekte im Zusammenhang mit dem nichtlinearen Transportverhalten in Verbindungshalbleitern erfolgreich beschrieben werden. Aber auch diese Methode wird den heute gestellten Anforderungen an die Bauelementesimulation nicht gerecht. So weicht bereits bei einem starken homogenen Feld die Verteilungsfunktion von der vorausgesetzten Form ab. Im stark inhomogenen Fall treten zusätzliche Merkmale der Verteilungsfunktion auf, die in dem Ansatz nicht enthalten sind.

Die ebenfalls schon länger bekannte Methode, die Verteilungsfunktion nach Legendre-Polynomen zu entwickeln, fand in jüngster Zeit Eingang in die eindimensionale Bauelementesimulation. Auf Grund der Zylindersymmetrie kann angesetzt werden als

Der Abbruch der Reihe nach dem Glied , wie er in den in [2][61] beschriebenen Implementationen durchgeführt wird, scheint aber doch eine grobe Näherung bezüglich der Verteilungsfunktion zu sein.

Eine sehr interessante Alternative stellt die relativ neue Methode dar, die Boltzmanngleichung auf einen zellulären Automaten abzubilden [55] [86]. Das Simulationsgebiet wird in Zellen unterteilt, wobei nur Wechselwirkungen zwischen den nächsten Nachbarn auftreten. Dieses Verfahren ist ebenso wie die Monte-Carlo-Methode stochastischer Natur. Als großer Vorteil ist zu werten, daß dieser Algorithmus auf Parallelrechnern mit SIMD-Architektur besonders effizient implementiert werden kann. Außerdem zeichnet sich dieser Algorithmus durch besondere Robustheit aus. Die Anwendung des Verfahrens ist derzeit auf Grund der uniformen Zellenstruktur auf die Simulation von MESFETs beschränkt. Zur Simulation eines MOSFETs ist wegen des Inversionskanals eine nichtuniforme Diskretisierung unabdingbar.

Zur Modellierung des Nichtgleichgewichtstransportes in eindimensionalen Strukturen wurde der sogenannte ,,Scattering Matrix Approach`` entwickelt [20] [96]. Das Simulationsgebiet wird dabei in gleich große Scheiben unterteilt. Weiters wird der Geschwindigkeitsraum diskretisiert, wobei jedem Diskretisierungsgebiet ein Teilfluß zugeordnet wird. Die Streumatrix gibt nun die Transmissions- und Reflexionswahrscheinlichkeiten für die unterschiedlichen Teilflüsse an. Ein eindimensionales Bauelement wird durch Serienschaltung solcher Streumatrizen modelliert. Da dieses Verfahren deterministisch ist, kann eine höhere Genauigkeit als mit stochastischen Methoden erzielt werden. Die Streumatrizen müssen für ein Halbleitermodell nur einmal berechnet werden und können dann wiederholt verwendet werden. Die entsprechenden Bibliotheken werden allerdings sehr groß, da eine Streumatrix als Parameter die Feldstärke und die Dotierung besitzt und ihre Dimension von der Feinheit der Geschwindigkeitsdiskretisierung abhängt. Obwohl empirisch gezeigt wurde, daß der ,,Scattering Matrix Approach`` die gleichen nichtlokalen Transporteffekte wie die Monte-Carlo-Methode liefert, steht ein Beweis für eine Äquivalenz zur Boltzmanngleichung noch aus.



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Martin Stiftinger
Wed Oct 12 11:59:33 MET 1994