4.3.3 Bildung stationärer Mittelwerte



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4.3.3 Bildung stationärer Mittelwerte

 

Wenn man das Verhalten eines Elektronenensembles im stationären Fall beschreiben möchte, genügt es, die Bewegung eines einzelnen Elektrons hinreichend lange zu verfolgen.

Die folgenden Betrachtungen sollen sich auf den ortsunabhängigen Fall beziehen. Dann wird die Trajektorie durch beschrieben, und es kann der Zeitmittelwert

gebildet werden. Dabei gibt die Dauer der Trajektorie an. Die Summe in der rechten Darstellung berücksichtigt die Unterteilung der Trajektorie in freie Flüge der Dauer . Auf Grund des Ergodentheorems stimmt dieser Zeitmittelwert für mit dem Scharmittelwert des Elektronenensembles überein.

Diese konzeptuell einfache Methode zur Berechnung der Mittelwerte ist aber für die praktische Anwendung schlecht geeignet, da über jeden freien Flug ein Linienintegral entlang der Trajektorie berechnet werden muß.

Ein für die Implementierung besser geeignetes Verfahren liefert die sogenannte ,,Synchronous Ensemble``-Methode [49][83]. Dabei wird die Beziehung

hergeleitet, worin die Verteilungsfunktion der Zustände vor der Streuung bedeutet . Diese gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Elektron unmittelbar vor einem Streuprozeß im Zustand anzutreffen. ist eine Normierungskonstante. Diese Proportionalität zwischen der gesuchten und der ,,before-scattering``-Verteilungsfunktion vereinfacht die Mittelwertbildung beträchtlich. Mit dieser Beziehung kann nämlich auf eine Mittelung über übergegangen werden. Dies hat den Vorteil, daß man mit einer relativ einfach durchzuführenden Abtastung an den Streuzeitpunkten das Auslangen findet.

Der gesuchte Mittelwert läßt sich mit dieser Beziehung darstellen als

 

wobei der Index über die Anzahl der freien Flüge läuft. Die Schreibweise und bedeutet, daß die Größen und zum Zeitpunkt unmittelbar vor der i-ten Streuung auszuwerten sind.

In der bisherigen Ableitung wurde die Ortsabhängigkeit ausgeklammert. Sie kann aber relativ einfach einbezogen werden, indem man annimmt, daß das Simulationsgebiet in eine Menge von Diskretisierungsvolumina unterteilt ist. Innerhalb eines Volumens wird dann auch räumlich gemittelt, wenn man die Gleichung 4.41 in der erweiterten Form

 

verwendet. Die Summation ist also über jene ,,before-scattering`` Zustände durchzuführen, bei denen der Ort des Streuprozesses im Volumen liegt [91].



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Martin Stiftinger
Wed Oct 12 11:59:33 MET 1994