5.3.1 Qualitätsmaß für finite Elemente

Die Fähigkeit eines Elementes mit Hilfe der darauf definierten Formfunktionen beliebige Funktionale zu approximieren, hängt sowohl von der Art der Formfunktionen als auch von der Form des Elementes selbst ab. Der formabhängige Teil dieser Fähigkeit wird als Elementqualität bezeichnet. Elemente guter Qualität haben daher bessere Approximierungseigenschaften als Elemente schlechter Qualität.

Im wesentlichen hängt diese Elementsqualität von der Form des Elementes, welche durch die Abweichung vom idealen gleichseitigen Element charakterisiert werden kann, ab. In [Liu94] werden verschiedene Formulierungen für die Elementsqualität Q^e verglichen. Im folgenden wird

$$Q^e = \frac{V}{h_{\mathrm {max}}^3}$$ (5.1)

zum Vergleich verschiedener Tetraederformen verwendet, worin V für das Elementvolumen und $h_{\mathrm {max}}$ für die Länge der längsten Kante steht. Zusätzlich zur Elementqualität hängt die Qualität der Diskretisierung auch vom Zusammenwirken der einzelnen Elemente ab. Dazu wird die lokale Gitterqualität Qⁿ eines Knotens durch

$$Q^n = \frac{\mathop\mathrm{min}(V_i)}{\mathop\mathrm{max}(V_j)}\quad\text{f\uml {u}r}\quad i,j=1, \ldots ,n_e$$ (5.2)

bewertet, worin V_i für die Volumina aller n_e Elemente rund um den betrachteten Knoten steht.