2.3 Interatomares Potential



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2.3 Interatomares Potential

 

Die einzige noch unbekannte Größe in Gl. (2.4) zur Berechnung des Streuwinkels ist das interatomare Potential . An und für sich herrscht zwischen den beiden Kernen ein Coulombpotential nach Gl. (2.9).

 

Die Kerne sind aber durch Elektronen gegeneinander abgeschirmt, was sich in einer Verringerung des Potentials bemerkbar macht, die mittels einer Abschirmfunktion berücksichtigt wird (siehe Gl. (2.10)).

 

Die Aufgabe ist nun, ein geeignetes zu finden. Für diese Funktion wurden bereits Ansätze publiziert, wobei etwa jene von Bohr [Boh13], Jensen [Jen32], Lenz [Len32], Sommerfeld [Som32], Moliere [Mol47] oder von Ziegler und Biersack [Zie85] die wichtigsten sind. Das Ziegler-Biersack-Potential wird seiner Allgemeinheit wegen auch als Universal-Potential bezeichnet. Vergleiche mit Experimenten ergaben, daß das letztgenannte Ziegler-Biersack-Potential die beste Übereinstimmung garantiert [Zie85]. Auf dieses Potential soll nun noch näher eingegangen werden.

Die Grundlage für das Ziegler-Biersack-Potential bildet das Hartree-Fock-Verfahren zur Berechnung der über alle Richtungen gemittelten Elektronenverteilungen der Atome im Festkörper. Ohne diese Mittelung würde man kein Zentralpotential erhalten, und die Analyse des Stoßvorgangs wäre wesentlich komplizierter als im vorigen Abschnitt dargestellt. Außerdem wird angenommen, daß nicht nur die Kristallatome durch diese Elektronenverteilungen beschrieben werden, sondern auch das implantierte Ion selbst. Das heißt aber auch, daß die Ionisierung des Ions vernachlässigt wird. Weiters wird angenommen, daß die Elektronenwolken von Ion und Atom einander durchdringen, ohne dabei verzerrt zu werden. Folgende Aspekte werden jedoch berücksichtigt:

Aufgrund dieser Voraussetzungen und Überlegungen kann das interatomare Potential nun berechnet werden. Dabei erhält man allerdings für jede Ion-Target-Kombination eine eigene Kurve. Diese einzelnen Kurven überstreichen einen weiten Bereich. Ziel ist es aber eine einheitliche Funktion für möglichst alle Ion-Atom-Kombinationen zu finden. Deshalb sind noch zusätzlich Überlegungen notwendig. So gibt es beispielsweise insoferne eine Systematik, als die Abschirmfunktion für schwere Teilchen kleiner ist als für leichte. Das macht die Einführung einer sogenannten Abschirmlänge möglich, womit der Abstand skaliert werden kann. Bei geeigneter Wahl der Abschirmlänge rücken die Kurven viel dichter zusammen. Eine optimale Kompression ergibt sich nach [Zie85] bei einer Abschirmlänge nach Gl. (2.11).

 

Dabei ist der Bohrradius ( Å). Die so erhaltenen Kurven für die berechneten Ion-Atom-Kombinationen können nun noch mittels Exponentialfunktionen nach Gl. (2.12) approximiert werden (). Gl. (2.12) ist für verschiedene Ion-Target-Kombinationen in Abb. 2.4 graphisch dargestellt.

  
Abbildung: Aproximation der Abschirmfunktion für insgesamt 261 verschiedene Ion-Target-Kombinationen nach Gl. (2.12), komprimiert durch die Abschirmlänge nach Gl. (2.11).

 

Dabei gilt für die Koeffizienten :

 

Die endgültige, gefittete Funktion, die eine Standardabweichung zwischen Theorie und Experiment von nur 5% aufweist [Hob88a], ist in Gl. (2.14) angeschrieben.

 

Für dieses Universal-Potential kann Gl. (2.4) nicht mehr analytisch gelöst werden, und eine numerische Integration kommt aus Zeitgründen nicht in Frage. In dem entwickelten Programm wurde ein Tabellenverfahren verwendet [Hob91a], wobei in einer Tabelle der in Abhängigkeit von einer skalierten Energie (siehe Gl. (2.15)) und einem skalierten Stoßparameter () abgespeichert wird.

 



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Martin Stiftinger
Sat Oct 15 14:00:19 MET 1994