next up previous contents
Next: 4.2 Monte Carlo-Methode Up: 4. Transportberechnung Previous: 4. Transportberechnung

4.1 Boltzmann-Gleichung

In den nicht quantisiert betrachteten Raumrichtungen werden die Elektronen für den Ladungstransport als Wellenpakete dargestellt und ihnen ein definierter Ort und Impuls zugeordnet. Zur Bestimmung von makroskopischen Eigenschaften des physikalischen Systems muss man nun alle Teilchen gleichzeitig verfolgen und die zeitliche Veränderung aller Koordinaten beschreiben. Ausgangspunkt dafür ist die statistische Mechanik, in der nicht die Bewegung der einzelnen Teilchen, sondern das Verhalten einer Verteilungsfunktion $ {\ensuremath{f}}({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}},{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{V}}}}}},{\ensuremath{t}})$ betrachtet wird.

Diese Funktion beschreibt die Verteilung der Teilchen in den freien Raumrichtungen und ist abhängig von der Zeit, von der Geschwindigkeit und vom Ort. Die mittlere Teilchenzahl ergibt sich mit dem Volumselement $ d^2{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}d^2{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{V}}}}}}$ des vierdimensionalen Phasenraums.

$\displaystyle d^4 {\ensuremath{N}} = {\ensuremath{f}}({\ensuremath{{\ensuremath...
...nsuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}d^2{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{V}}}}}}$ (4.1)

Die zeitliche Entwicklung der Verteilungsfunktion wird durch die Boltzmann-Gleichung beschrieben.

$\displaystyle {} \frac{d}{dt}  {\ensuremath{f}}({\ensuremath{{\ensuremath{\vec...
...}}}}},{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{V}}}}}},{\ensuremath{t}}) \right\}$ (4.2)

Die beiden Operatoren $ Q_{{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}' \rightarrow {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}}$ und $ Q_{{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}
\rightarrow {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}'}$ auf der rechten Seite in (4.2) stellen dabei alle möglichen Streuungen vom, beziehungsweise in den Zustand mit dem Wellenvektor $ {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$ dar. Mehrere Methoden für die Lösung der Boltzmann-Gleichung haben sich etabliert.

Im Falle der Momentenmethoden werden aus den Momenten der Boltzmann-Gleichung Differentialgleichungen für makroskopische Größen hergeleitet. So ergibt sich mit dem nullten und ersten Moment das Drift-Diffusions-Modell([14]). Bei zusätzlicher Berücksichtigung des zweiten und dritten Moments kommt man zum hydrodynamischen Modell ([23]).


next up previous contents
Next: 4.2 Monte Carlo-Methode Up: 4. Transportberechnung Previous: 4. Transportberechnung

C. Troger: Modellierung von Quantisierungseffekten in Feldeffekttransistoren