7.1 Rechteckiger Leiter über Erdungsfläche



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7.1 Rechteckiger Leiter über Erdungsfläche

 

Die in [Che92][Wri93][Sak83][Yua82] angegebenen Formen, welche Kapazitäten einer oder mehrere Leiterbahnen über einer Erdungsfläche berechnen, werden meist durch einfache Polynome gebildet, die außerdem nur in einem ganz bestimmten und meist stark eingeschränkten Definitionsbereich Lösungen mit ausreichender Genauigkeit liefern. Diese Formeln werden meist durch Parametervariation an die Lösungen numerischer Berechnungen angepaßt.

Es es jedoch möglich, wie in [Rin93] gezeigt wird, eine analytische Lösung für einen geraden rechteckigen Leiter über einer Erdungsfläche anzugeben. In [Rin93] wird die Laplace-Gleichung durch einen Separationsansatz in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt. In vertikaler Richtung wird ein exponentieller Abfall angesetzt und in horizontaler Richtung fordert man eine periodische Fortsetzung der Struktur. Die geometrische Struktur erfordert eine Zerlegung des Isolatorgebiets in drei horizontale Teilgebiete, wobei Rand- bzw. Stetigkeitsbedingungen an den Grenzflächen zu erfüllen sind.

Die Lösung des Problems mit drei verschiedenen [Rin93] Materialien kann mit einem symbolischen Mathematikprogramm in einigen Minuten gefunden werden. Für die unten angegebene Formulierung sind die in Abbildung 7.1 angegebenen Parameter zur Geometriespezifikation notwendig.

  
Abbildung 7.1: Leiter über Erdungsfläche

Die Variable gibt die gewünschte Anzahl der Fourier-Koeffizienten

an. Die angegebene Lösung in aufbereiteter Form und in Matrizenschreibweise

kann einfach an die Syntax eines verfügbaren Mathematikprogramms angepaßt werden. gif Für die weiteren Tests sollen die Strukturabmessungen , und und als Material Vakuum herangezogen werden. Der Matrixrang, welcher über die Anzahl der Fourier-Koeffizienten bestimmt ist, und der Abstand der Spiegelungsebene mit ihren homogene Neumann Randbedingungen als linke und rechte Begrenzung sind noch frei wählbar. Man kann die Ladungsdichte an der Oberfläche der Erdungsfläche am Punkt heranziehen und diese Ladungsdichte zur Ladungsdichte am Punkt 0 in der Mitte der Anordnung setzen, um eine Fehlerabschätzung zu erhalten.

Wie sich aber im folgenden zeigt, ist eine einfache zweidimensionale Parametervariation ausreichend, um ein Ergebnis unter Genauigkeit zu erreichen.

Die oberen Spalteneinträge f geben das Verhältnis an. Alle berechneten Werte der Tabelle sind in angegeben. Der Wert der Kapazität mit aus der Matrix in Zeile 3 und Spalte 4 ist, spekulativ gesehen, genau genug, um damit numerische Berechnungen zu vergleichen.

Die Abbildungen 7.2 und 7.3 zeigen die gleiche Konfiguration, jedoch mit zwei verschiedenen Umrandungen: und .

  
Abbildung 7.2: Leiter über Erdungsfläche, stark verzerrte Isolinien

  
Abbildung 7.3: Leiter über Erdungsfläche, ausreichend große Umrandung

An dem gekrümmten Verlauf der Isolinien zum linken und rechten Rand kann man im ersten Bild erkennen, daß das Diskretisierungsgitter zu klein ist. Die folgende Tabelle gibt darüber Aufschluß, daß die zu kleinen Werte in der zweiten Spalte kein Problem der Elementszahl sind, da die Elementszahl durch einen Verfeinerungsschritt vervierfacht ( 4) bzw. durch einen zweiten Verfeinerungsschritt um einen Faktor sechszehn ( 16) vergrößert wurde, sondern explizit ein Problem der umschlossenen elektrostatischen Energie ist. In einem Verfeinerungsschritt wird jedes Dreieck in vier ähnliche Unterdreiecke zerlegt.

Wie in Abbildung 7.3 und in der Tabelle gezeigt wird, kann man auch bei geringer Elementszahl eine Differenz zur vorhin gezeigten Lösung durch Fourier-Reihenentwicklung kleiner als angeben.

Es sollte damit gezeigt werden, daß man bei Problemstellungen, die ein nahezu offenes Feldproblem darstellen, das Diskretisierungsgitter ausreichend groß wählen muß und der Anzahl der Elemente in diesem Fall eine untergeordnete Rolle zukommt, da die elektrostatische Feldenergie über eine relativ große Fläche verteilt ist. Die letzte Spalte der Tabelle zeigt, daß eine Berechnung, die quadratische Formfunktionen und 99 Elemente benutzt, ein genaueres Ergebnis liefert als Elemente und lineare Formfunktionen.

Die starke Verzerrungen der Äquipotentiallinien, bei einem relativ hohen Gradienten am linken und rechten Rand in der Abbildung 7.3, sind ein Zeichen dafür, daß das Ergebnis eine unzureichende Genauigkeit aufweisen wird.



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Martin Stiftinger
Fri Nov 25 16:50:24 MET 1994