3.9 Assemblierung



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3.9 Assemblierung

 

Bei einer Implementierung können zwei Wege zur Assemblierung der Randbedingungen eingeschlagen werden: In der vorhin gezeigten Art werden Dirichlet-Knoten gleich bei der Assemblierung berücksichtigt, und der Spaltenmatrix bildet die rechte Seite des Gleichungssystems. Der Rang des zu lösenden Gleichungssystems wird von auf reduziert. In der zweiten Art assembliert man die Steifigkeitsmatrix, ohne eine Trennung der Knoten in Knoten mit Freiheitsgraden und Dirichlet-Knoten durchzuführen. Die Dirichlet-Knoten werden in die Spaltenmatrix eingesetzt und das Produkt gebildet. Ausmultipliziert werden jedoch nur jene Spalten, wo eine Multiplikation mit Dirichlet-Knoten erfolgt. Alle ausmultiplizierten Terme werden von der rechten Seite des Gleichungssystems subtrahiert und alle Zeilen von gestrichen, wenn der Index einem Dirichlet-Knoten entspricht. Zuletzt werden die Diagonaleinträge der gestrichenen Zeilen von auf eins gesetzt, und auf der rechten Seite wird der Dirichlet-Knotenwert eingetragen. Der Rang des Gleichungssystems ist , wobei Pseudo-Gleichungen auftreten.

In dieser Arbeit wurde der etwas komplizierteren, aber effizienteren ersten Methode der Vorzug gegeben.

Der Assembliervorgang der Elementsmatrizen zu einer Gesamtmatrix ist vom Prinzip her für zwei- und dreidimensionale Strukturen gleich. Das folgende zweidimensionale Beispiel soll den Vorgang veranschaulichen und ist also auch für räumliche Diskretisierungen gültig. Die Abbildung 3.10 zeigt ein Problem mit drei Kontakten. Die obere und untere horizontale Berandung sollen leitend sein und zwei Kontakte bilden. Der dritte Leiter liegt im Inneren des diskretisierten Objekts. Die äußeren vertikalen Ränder sollen homogene Neumann-Randbedingungen darstellen, damit kann man sich die Struktur nach links und rechts an den vertikalen Rändern gespiegelt fortgesetzt denken.

  
Abbildung 3.10: Diskretisierter Bereich

Die Knoten sind in die Knoten mit Freiheitgraden und die Dirichlet-Knoten zu trennen. Die Potentialwerte an den Knoten sollen mit bezeichnet werden. Es sind je große Elementsmatrizen, bei der Wahl von linearen Formfunktionen, in die Gesamtmatrix mit der Größe zu assemblieren. Um die Abbildung von den lokalen Elementsknoten, im dargestellten Fall 1,2 und 3, auf die globalen Knoten zu verdeutlichen, sollen die Elemente , und repräsentativ für alle Elemente herangezogen werden (siehe auch Abbildung 3.11).

  
Abbildung 3.11: Ausschnitt

Die Transformation soll die Eigenschaft haben, alle lokalen Elementsindizes und auf die globalen Matrixindizes und abzubilden und außerdem alle Einträge mit den Indizes oder zu verwerfen.

Die Spaltenindizes größer bilden Einträge in die rechte Seite des Gleichungssystems , wobei die Zeilenindizes größer unberücksichtigt bleiben.

Hier ist der Vorgang für die rechte Seite des Gleichungssystems mit

getrennt vom Assemblieren von angegeben, es ist jedoch vorteilhaft, nur einmal die Elementsliste abzuarbeiten und beide Vorgänge in einer Routine zusammenzufassen.

Die von null verschiedenen Einträge im assemblierten Gleichungssystem in Abbildung 3.12 sind durch Symbole gekennzeichnet. Alle nicht markierten Einträge in der Matrix und der rechten Seite sind null. Die Einträge der ausgewählten Elementsmatrizen , und sind durch spezielle Symbole gekennzeichnet. So können die verschiedenen Elementsanteile in der Gesamtmatrix identifiziert werden.

  
Abbildung 3.12: Assemblierungsbeispiel

Die Gleichungszeile entspricht dem Gitterknoten in Abbildung 3.11. Dieser hat über Dreieckskanten direkte Verbindungengif zu anderen Gitterknoten, wobei 3 Knoten (, und ) einen Freiheitsgrad besitzen und zwei Knoten ( und ) Dirichlet-Knoten sind. Die Zeile hat demnach mit dem Mittenknoten Einträge, und die rechte Seite in Zeile besteht aus dem Eintrag



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Martin Stiftinger
Fri Nov 25 16:50:24 MET 1994