2.2.3 Das thermodynamische Gleichgewicht



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2.2.3 Das thermodynamische Gleichgewicht

Die Wahrscheinlichkeit der Besetzung eines Zustandes im Leitungsband durch ein Elektron ist durch die Gleichgewichtsverteilungsfunktion des Elektronengases gegeben [120], [121], [153], [165], [177]:

 

wird als Fermi-Energie bezeichnet. Sie ist der chemischen Energie der Ladungsträger äquivalent:

 

Die Besetzungswahrscheinlichkeit nimmt für den Wert an.

bezeichnet die Gesamtenergie des Ladungsträgers im Banddiagramm. Sie stellt nach Gl. (2.22), (2.25) die Summe der potentiellen und kinetischen Energie dar. Mit Hilfe von Gl. (2.22) kann man die Abhängigkeit der Gesamtenergie von bzw. separieren:

 

bezeichnet die kinetische Energie der Elektronen im Leitungsband. Auf analoge Weise erhält man für Löcher:

 

Ist kann die 1 im Nenner von Gleichung (2.40) gegenüber der Exponentialfunktion vernachlässigt werden. Die Fermiverteilung ist durch die Boltzmannverteilung approximierbar:

 

Der Fehler bei Verwendung der Boltzmannnäherung (2.44) gegenüber der Fermiverteilung ist kleiner als , solange der Betrag der Energiedifferenz ist [134]. Wenn gilt, spricht man von einem 'entarteten' Elektronengas.

Weil ein Elektron nicht nur ein Materieteilchen darstellt sondern auch eine (negative) Elementarladung trägt, ist die Ortsveränderung eines Elektrons nicht nur mit der Änderung der chemischen Energie sondern auch der elektrostatischen Energie verbunden. Da bei jedem Austauschprozeß geladener Teilchen beide Energieformen beteiligt sind, kann das elektrochemische Potential als eigene Energieform definiert werden:

  

Nach (2.45), (2.46) ist die elektrochemische Energie die Summe der chemischen und elektrostatischen (potentiellen) Energie. ist die auf bezogene chemische Energie der Elektronen (), die auf bezogene chemische Energie der Löcher () [121]. Während die chemische Energie teilchenspezifisch ist, ist das elektrostatische Potential für alle geladenen Teilchen anwendbar. Aus diesem Grund muß die elektrochemische Energie ebenfalls für eine bestimmte Teilchensorte definiert werden. Die elektrochemischen Energien , der Elektronen und Löcher im Halbleiter werden Quasifermienergien , genannt.

Charakterisiert man Elektronen und Löcher mit Hilfe der elektrochemischen Energien, kann in (2.40), (2.43) durch bzw. ersetzt werden. Die Verteilungsfunktionen , nehmen folgende Formen an:

    

Gl. (2.47), (2.48), (2.49), (2.50) sind gültig, solange Elektronen und Löcher für sich im (lokalen) Gleichgewicht sind. Die Frage der Existenz mehrerer Quasiferminiveaus ist unabhängig von der Frage ihrer Gleichheit. Das Gleichgewicht innerhalb eines Teilchenensembles muß vom Gleichgewicht mehrerer Teilchenensembles unterschieden werden. Ist das Elektronensystem mit dem Löchersystem nicht im Gleichgewicht, müssen sie durch zwei unterschiedliche Quasifermienergien und charakterisiert werden.



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Martin Stiftinger
Sat Jun 10 15:00:12 MET DST 1995