11.4.4 Ermittlung der Jacobi-Matrix

Bei der Berechnung der Lösung (der Nullstelle) eines nichtlinearen Gleichungssystems bestehend aus Gleichungen der Form mit Unbekannten wird eine Matrix der partiellen Ableitungen der Gleichungen benötigt. Ein Element der Jacobi-Matrix ist zu definiert.

Die Elemente der Matrix können folgende Werte annehmen:

Konstant :

Die meisten Elemente der Matrix haben den konstanten Wert , d.h. diese Gleichung hängt nicht von ab. Die Jacobi-Matrix für typische elektrische Netzwerke hat nur 2 bis 3 in einer Zeile, die ungleich sind.

Konstant:

Eine Reihe von Elementen der Jacobi-Matrix hat einen konstanten Wert ungleich . Insbesondere treten bei den partiellen Ableitungen der Topologie-Gleichungen die Werte und auf. Andere typische Fälle sind die partiellen Ableitungen der Gleichungen der Form , die bei den idealen Bauelementen (Widerstand, etc.) auftreten.

Formel:

Die meisten verbleibenden partiellen Ableitungen sind als geschlossene Formel darstellbar.

Numerisch:

Nur wenige Elemente der Jacobi-Matrix lassen sich nicht a priori symbolisch berechnen. Dieser Fall kann z.B. bei Gleichungen entstehen, die Unstetigkeitsstellen enthalten oder die Funktionen verwenden, deren Ableitung nicht bekannt ist (z.B. vom Benutzer definierte externe Funktionen). Diese Elemente können nur während der Simulation mittels numerischer Differentiation ermittelt werden.

Die Berechnung der Jacobi-Matrix ist neben der Auswertung des Netzwerkgleichungssystems selber der zeitkritischste Teil während der Simulation, da dieser Teil in der innersten Schleife der Simulation - der Iteration zur Bestimmung der Lösungen der Netzwerkgleichungen zu einem bestimmten Zeitpunkt - durchgeführt wird. Daher muß der effizienten Berechnung der Jacobi-Matrix ein besonderes Augenmerk geschenkt werden.

In JANAP wird die Jacobi-Matrix in folgenden Schritten ermittelt:

1. Die Elemente, die konstant sind, werden überhaupt nicht in der Matrix gespeichert. Die Jacobi-Matrix wird in Form einer schwach besetzten Matrix (Sparse Matrix, [126][57][56][54][52][46]) gespeichert.
2. Die konstanten Elemente der Matrix werden während des Pass 1 von JANAP berechnet und fix in der Matrix eingetragen.
3. Die Elemente, die mittels einer geschlossenen Formel berechnet werden können, werden während der Simulationsphase mit dieser Formel ermittelt. Für einen Großteil der in JANAP verfügbaren Standardfunktionen kann die Ableitung symbolisch bestimmt werden (z.B. auch für die Funktionen MIN, MAX, SGN, ABS, DT). Das Laufzeitsystem von JANAP enthält daher auch Funktionen zur Berechnung der Ableitungen der Standardfunktionen.
4. Die verbleibenden Elemente der Matrix müssen mittels numerischer Differentiation bestimmt werden.

Bei der Ermittlung der Jacobi-Matrix ergibt sich ein Problem, das aus der großen Flexibilität bei der Beschreibung des Netzwerkes in JANAP resultiert. Das Muster der Jacobi-Matrix, das ist das Muster der Elemente der Matrix, die ungleich sind, kann nicht a priori ermittelt werden, da sich dieses Muster ändern kann (z.B. durch Öffnen oder Schließen eines Schalters). Es muß daher nach jeder Ermittlung der Jacobi-Matrix der variable Teil der Matrix auf Elemente mit dem Wert überprüft werden.