7.2.3 Induktivitäten



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7.2.3 Induktivitäten

Auch Induktivitäten können über eine ähnliche Vorgangsweise eingebunden werden, wozu allerdings einige Vorüberlegungen angestellt werden müssen.

 

Ist der Querschnitt einer Leitung wie in Bild 7.4 gegeben, so bildet sich um den stromdurchflossenen Leiter ein Magnetfeld aus. Dieses gehorcht im linearen, quasistationären Fall im permeablen Material den folgenden Gleichungen:

   

Im Zweidimensionalen kann das Magnetfeld, das diesen Gleichungen entspricht, durch eine Dualitätstransformation ebenso wie eine Kapazität durch eine Laplacegleichung ausgerechnet werden. Die Laplacegleichung wird in der folgenden Ableitung für das Vektorpotential der magnetischen Induktion abgeleitet. Voraussetzung ist, daß in der gesamten abgebildeten Struktur, auch in den Leitern, nur Ströme in -Richtung fließen und daß die Permeabilität des Induktormaterials nur von und , nicht aber von abhängt.

Um (7.7) zu erfüllen, setzt man nach [36] die magnetische Induktion als Rotor eines Vektorpotentials an,

 

dessen Divergenz man frei wählen kann und gleich Null setzt:

 

Mit dem Übergang auf zwei Dimensionen durch

     

ergeben sich nach elementaren algebraischen Umformungen für die - und -Komponente des Vektorpotentials überall (also auch in den Leitern) zwei einfache Laplacegleichungen,

  

die man durch

  

löst. Für die -Komponente des Vektorpotentials erhält man die Gleichung

 

Dabei ist die Stromdichtenkomponente in -Richtung, die an der Außenfläche der idealen Leiter von 0 verschieden ist, sonst überall 0 ist. Im Induktor wird daher

 

gelöst. Das Vektorpotential ist von unabhängig: .

Um die entsprechende Spannung, die an der Induktivität anliegt, in die Gleichung einzubringen, kann man ein Integral des magnetischen Flusses über eine Querschnittsfläche bilden, die im Zweidimensionalen auf eine Linie projiziert werden kann (Bild 7.5).

 

Für den Fluß erhält man:

 

Um nun die Induktivität in eine Schaltung einbinden zu können, legt man diese Spannung, die eigentlich entlang der Leitung abfällt, zwischen die beiden Leiterkontakte und bildet aus den Potentialen dieser Kontakte Randbedingungen für die -Komponente des Vektorpotentials:

 

 

Den Strom läßt man ebenfalls zwischen den beiden Kontakten fließen. Man kann ihn im Originalmodell durch ein Linienintegral ermitteln:

 

Durch den Übergang auf ein Oberflächenintegral, indem man die Kurve mit der Tiefe expandiert, erhält man das zweidimensionale Modell:

 

Das Pseudomaterial ,,Induktor`` wird nun dadurch definiert, daß man als Integralpotential definiert und die Pseudostromdichte über das Material fließen läßt. Es ergeben sich die Gleichungen für das Material ,,Induktor``,

 

und

 

mit der Randbedingung für das Integralpotential

 

an jedem Kontakt.

Die Integrationskonstanten an den einzelnen Kontakten müssen so gewählt werden, daß für die stationäre Simulation (also zum Startzeitpunkt) keine Spannung am Induktor anliegt, allerdings ein konstanter Strom fließt.

 

Mit einer Anordnung nach Bild 7.6 wird zwischen den beiden Kontakten eine Induktivität

 

erzeugt. Der umgebende Raum, der durch NEUMANN-Randbedingungen abgetrennt ist, entspricht dabei einer unendlichen magnetischen Leitfähigkeit .

Es soll hier noch angemerkt werden, daß mit den einfachen beschriebenen Modellen zwar Induktivitäten oder Kapazitäten von Leitern in die Simulation eingebracht werden können, daß aber selbstverständlich keine Leitungsgleichungen gelöst werden und daß daher eine lange oder verlustbehaftete Leitung mindestens durch ein Netzwerk dargestellt werden müßte, wofür der Simulator allerdings keine komfortablen Dienste zur Verfügung stellt.

Durch die Beschränkung auf zwei Dimensionen ist derzeit auch keine Berechnung realistischer Leiterbahnen möglich.



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Martin Stiftinger
Fri Oct 21 18:22:52 MET 1994